Chủ đề này có 1 trả lời

[*shinpy*]

Tìm 3 số a, b, c nguyên dương thỏa: a² + b³ = c⁴

[Crystal]

Tìm 3 số a, b, c nguyên dương thỏa: a² + b³ = c⁴ (1)

Ta chứng minh phuơng trình (1) có vô hạn nghiệm nguyên dương.

Ta biết rằng ${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$. Từ đó ta nhận được ĐT ${\left[ {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}} \right]^2} + {n^3} = {\left[ {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}\,,\,\,n > 1$.

Như vậy ta cần chứng minh tồn tại vô hạn những số nguyên dương $n$ sao cho ${\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = {k^2}}$ với số nguyên dương $k$ nào đó. Khi đó $\left( {a,b,c} \right) = \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2},n,k} \right)$ là lời giải của bài toán.

Từ ${\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = {k^2}}$ ta có thể viết lại ${\left( {2n + 1} \right)^2} - 2{\left( {2k} \right)^2} = 1$. Ta biết rằng ${x^2} - 2{y^2} = 1$ có vô hạn nghiệm. Cho bất kỳ $\left( {x,y} \right)$ như vậy, rõ ràng $x$ là lẻ. Do đó $x=2m+1$. Khi đó ${y^2} = 2{m^2} + 2m \Rightarrow y$ chẵn. Như vậy bất kỳ $(x,y)$ như vậy có dạng $\left( {2n + 1,2k} \right)$. Do đó tồn tại vô hạn những số $n$ như vậy.

Vậy bài toán đã được giải.