Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $abc=8,a>1,b>2$. Tìm GTLN của biểu thức $$ A=(a-1)(b-2)(c-3)$$


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
*shinpy*

*shinpy*

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Cho $abc=8$, $a>1$, $b>2$
tìm max $ A=(a-1)(b-2)(c-3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 06-10-2011 - 12:52


#2
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
Bài toán đẹp, hướng làm đơn giản nhưng để tìm được GTLN chính xác thì cũng khó.

Trước hết nhận xét là $A$ có thể dương, tức là ta có thể chỉ xét $c>3$

Đặt ẩn phụ

\[\begin{array}{l}
x = a - 1 \\
y = b - 2 \\
z = c - 3 \\
\end{array}\]
Điều kiện là $x,y,z>0$


\[\begin{array}{l}
abc = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 2} \right)\left( {z + 3} \right) = xyz + 3xy + 2xz + yz + 6x + 3y + 2z + 6 = 8 \\
\Leftrightarrow xyz + 3xy + 2xz + yz + 6x + 3y + 2z = 2 \\
\end{array}\]
Áp dụng AM-GM:

\[\begin{array}{l}
3xy + 2xz + yz \ge 3\sqrt[3]{{6\left( {{x^2}{y^2}{z^2}} \right)}} \\
6x + 3y + 2z \ge 3\sqrt[3]{{36xyz}} \\
\end{array}\]
Nên ta thu được

\[\begin{array}{l}
xyz + 3\sqrt[3]{{6\left( {{x^2}{y^2}{z^2}} \right)}} + 3\sqrt[3]{{36xyz}} \le 2 \\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{xyz}} - 2 + \sqrt[3]{6}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} + \left( {2 + 2\sqrt[3]{6}} \right)t + {6^{2/3}} + 2\sqrt[3]{6} + 4} \right) \le 0 \\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \le 2 - \sqrt[3]{6} \\
\Leftrightarrow xyz \le {\left( {2 - \sqrt[3]{6}} \right)^3} \\
\end{array}\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x = z \\
2x = y \\
xyz + 3xy + 2xz + yz + 6x + 3y + 2z = 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {2^{2/3}}{.3^{ - 1/3}} - 1 \\
y = {2^{5/3}}{.3^{ - 1/3}} - 2 \\
z = {2^{2/3}}{.3^{2/3}} - 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = {2^{2/3}}{.3^{ - 1/3}} \\
b = {2^{5/3}}{.3^{ - 1/3}} \\
c = {2^{2/3}}{.3^{2/3}} \\
\end{array} \right.\]
Kết luận: $\max A = {\left( {2 - \sqrt[3]{6}} \right)^3}$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh