xusinst - đội BETA giải bài 3 của ALPHA. ( Bài giải của
soros_fighter sai nên mình sửa lại).
Ta thấy $x=0$ hoặc $y=0$ thì không thỏa mãn hệ đã cho
Do đó ta xét với $x ; y \neq 0$. Hệ đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{1}{x^2}+y^2=19 & \\
\dfrac{y}{x}\left ( \dfrac{1}{x}+y \right )=-6 &
\end{matrix}\right.$
Đặt $\dfrac{1}{x}+y=u ; \dfrac{y}{x}=v$;$u^2\geq 4\left | v \right |$ hệ trở thành:
$\left\{\begin{matrix}
u^2-2v=19 & \\
uv=-6 &
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
v=\dfrac{-6}{u} (1)& \\
u^2+\dfrac{12}{u}=19 (2)&
\end{matrix}\right.$
$(2)\Leftrightarrow u^3-19u+12=0\Leftrightarrow (u-4)(u^2+4u-3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4 \\ u = - 2-\sqrt{7} \\ u=-2+\sqrt{7} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4\Rightarrow v=-\dfrac{3}{2}\\u = - 2-\sqrt{7}\Rightarrow v=\dfrac{6}{2+\sqrt{7}}\\u=-2+\sqrt{7}\Rightarrow v=\dfrac{6}{2-\sqrt{7}} \end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện ta có:$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 4;v = - \dfrac{3}{2}}\\
{u = - 2 - \sqrt 7 ;v = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}}
\end{array}} \right.$
TH1: $u = 4 ; v=-\dfrac{3}{2}$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} + y = 4\\
\dfrac{y}{x} = - \dfrac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 4 - \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{{4 - \dfrac{1}{x}}}{x} = - \dfrac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 4 - \dfrac{1}{x}\\
3{x^2} + 8x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \dfrac{{ - 4 + \sqrt {22} }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{4\sqrt {22} - 19}}{{\sqrt {22} - 4}}}\\
{x = \dfrac{{ - 4 - \sqrt {22} }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{19 + 4\sqrt {22} }}{{4 + \sqrt {22} }}}
\end{array}} \right.$
TH2: $u = - 2 - \sqrt 7 ;v = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} + y = - 2 - \sqrt 7 \\
\dfrac{y}{x} = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{{ - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{1}{x}}}{x} = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{1}{x}\\
6{x^2} + \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right)x + 2 + \sqrt 7 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right) + \sqrt {185 + 64\sqrt 7 } }}{{12}} \Rightarrow y = - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{{12}}{{\sqrt {185 + 64\sqrt 7 } - \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right)}}\\
x = \dfrac{{ - \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right) - \sqrt {185 + 64\sqrt 7 } }}{{12}} \Rightarrow y = - 2 - \sqrt 7 + \dfrac{{12}}{{11 + 4\sqrt 7 + \sqrt {185 + 64\sqrt 7 } }}
\end{array} \right.$
Thử lại thấy 2 nghiệm trên không thỏa.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 4 + \sqrt {22} }}{3};\dfrac{{4\sqrt {22} - 19}}{{\sqrt {22} - 4}}} \right),\,\,\,\left( {\dfrac{{ - 4 - \sqrt {22} }}{3};\dfrac{{19 + 4\sqrt {22} }}{{4 + \sqrt {22} }}} \right),$
Kết quả : 6.5/7 Điểm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-10-2011 - 23:02