Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 1: ALPHA - BETA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 62 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2011 - 16:04

Đúng 0 h tối nay ; 2 đội trưởng của Alpha và Beta sẽ post đề vào Topic này . Nghiêm cấm các thành viên không phải trong 2 đội thi được phép đưa lời giai hay có bất kỳ nhận xét gì về lời giải của 2 đội thi . Kết thúc thời gian ; tổ trọng tài sẽ đưa ra tổng điểm mỗi đội ; căn cứ vào số điểm quy định cho mỗi bài :)

Cụ thể như sau :

THCS : mỗi bài sẽ trị giá 6 điểm
THPT : mỗi bài sẽ trị giá 7 điểm

OLP : 8 điểm

Ngoài ra ; trọng tài sẽ tuyên dương các giải : Bài Toán hay và giải Mâm Xôi Vàng ;)

Chúc 2 đội sức khoẻ để hoàn thành tốt lượt đấu :)

Hình gửi kèm

  • competition-canhtranh.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-04-2012 - 16:06

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2011 - 23:59

Đề của Beta :

Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ khác $0 ; 4$ thì :

$3^{n} + 63$ không là số chính phương

Câu 2:
Cho tam giác $ABC$ với diện tích $S$ . Trên $AB ; BC ; CA$ đồng thời lấy $ C' ; A' ; B'$ sao cho : $ AC^{'} = BC^{'}$ ;

$ \dfrac{BA^{'}}{A^{'} C} = \dfrac{1}{2}$

$ \dfrac{CB^{'}}{B^{'} A} = \dfrac{1}{3}$

$ AA^{'}$ cắt $BB^{'}$ tại $M$

$ BB^{'}$ cắt $CC^{'}$ tại $N$

$ CC^{'}$ cắt $AA^{'}$ tại $P$

Tính diện tích tam giác $MNP$ theo diện tích $S$

Câu 3 :

Cho tam giác vuông cân : $ABC$ ; $BC = AC$ . Đường phân giác $AM$ cắt $BC$ tại $M$ . Chứng minh đẳng thức :

$MB = 2r$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam gíac $ABC$

Câu 4 :

Cho ba số nguyên không âm bất kì $ a ; b ; c$ . Mỗi 1 bước ta biến bộ $(a;b;c)$ thành bộ $ ( |b-c| ; |c-a| ; |a-b| ) $ . Chứng minh rằng ; sau một số hữu hạn các bước ; ta sẽ thu được 1 bộ có chứa số $0$

Câu 5 : Giải hệ gồm 2 phương trình sau :

$y^4 - 4y^3 -16y^2 -8xy -4x^2 + 32y + 64 = 0$

$ \sin(5 \pi x) - \sqrt{ x(x-6) + 13} \cos\left [ \pi \left ( y^{2}+2x+\dfrac{1}{2} \right ) \right ]+ \sin\left ( \pi \left ( 2y^{2} -x\right ) \right ) =0 $

Câu 6 :

$\left \{ u_n \right \}$ là dãy số xác định như sau :
$ u_0= 0 ; u_n = \dfrac{u_{n-1}}{2011} + \left ( -1 \right )^{n} \forall n \geq 1 $

Tìm

$\lim u_{n}^{2}$

Đề thi của Alpha :

Câu 1:
Xét các số thực a;b;c sao cho pt $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức
\[P = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}}\]

Câu 2:

Giả sử AD,BE,CF là 3 đường cao của tam giác ABC. Gọi:
G, P lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC;
I , K lần lượt là hình chiếu của E lên AB, BC;
M, N lần lượt là hình chiếu của F lên AC, BC
Chứng minh rằng 6 điểm G, P, I, K, M, N cùng nằm trên 1 đường tròn.

Câu 3:

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} 1 + {x^2}{y^2} = 19{x^2} \\ x{y^2} + y = - 6{x^2} \\ \end{gathered} \right.$

Câu 4:

Cho hàm số $y = \dfrac{{{m^2}x + 4m}}{{mx + 1}}$ có đồ thị là (C). Trên (Cm) xét hai điểm A(xa; ya) và B(xb ; yb) (xa, xb là các hằng số cố định cho trước). Gọi d1, d2 tương ứng là độ dài đoạn thẳng AB khi m = 2, m = 8. Hãy tính tỉ số $T = \dfrac{{{d_1}}}{{{d_2}}}$

Câu 5:
Cho tứ diện ABCDAB = x, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tìm x để thể tích tứ diện đạt GTLN. Tìm giá trị đó.

Câu 6:

Cho ${a_1};{a_2};...;{a_n};{b_1};{b_2};...;{b_n}$là các số thực thuộc đoạn [2012;4024] thỏa mãn: $\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {b_k^2} $
.Chứng minh rằng:
\[\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{a_k^3}}{{{b_k}}}} \leqslant \dfrac{{17}}{{10}}\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2} \]

Các bạn tải ở đây :

http://ifile.it/lw6idec

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-10-2011 - 19:01

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-10-2011 - 00:37

xusinst - đội BETA giải bài 1 của đội ALPHA

Câu 1 (THCS) Xét các số thực $a,b,c$ sao cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có 2 nghiệm thuộc đoạn [0;1].Hãy tìm GTLN của biểu thức : $P = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}}$


Giải:
Giả sử 2 nghiệm của phương trình là ${x_1},{x_2}$. Theo Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.$

Khi đó: $P = \dfrac{{\dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{{a^2}}}}}{{\dfrac{{a - b + c}}{a}}} = \dfrac{{\left( {1 - \dfrac{b}{a}} \right)\left( {2 - \dfrac{b}{a}} \right)}}{{1 - \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}}} = \dfrac{{\left( {1 + {x_1} + {x_2}} \right)\left( {2 + {x_1} + {x_2}} \right)}}{{1 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}}$

$ = \dfrac{{2\left( {1 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right) + {x_1} + {x_2} + x_1^2 + x_2^2}}{{1 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}} = 2 + \dfrac{{{x_1} + {x_2} + x_1^2 + x_2^2}}{{1 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $0 \le {x_1} \le {x_2} \le 1$ $ \Rightarrow x_1^2 \le {x_1}{x_2} \Rightarrow 1 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} \ge 1 + x_1^2 + {x_1} + {x_2}$

$ \Rightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2} + x_1^2 + x_2^2}}{{1 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}} \le \dfrac{{{x_1} + {x_2} + x_1^2 + x_2^2}}{{1 + x_1^2 + {x_1} + {x_2}}} \le \dfrac{{{x_1} + {x_2} + x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}}} = 1$

$ \Rightarrow P \le 2 + 1 = 3$. Dấu "=' xảy ra $ \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = 1$

Vậy $\max P = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = 1$.

Kết quả : PSW : 5.5/6 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-10-2011 - 22:56


#4 soros_fighter

soros_fighter

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh

Đã gửi 10-10-2011 - 01:46

Soros_fighter - đội Beta giải bài 2 của đội Alpha
Bạn nào đội Beta bổ sung cho mình cái hình với nào
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Ta thấy $CEHD ; PKDE ; DFGN ; BDHF ; DPAG $ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow\widehat{DPK}=\widehat{DFK}=\widehat{ADF}=\widehat{ADF}=\widehat{ABE}=\widehat{HDF}=\widehat{DFN}=\widehat{DGN}$
$\widehat{DPG}=\widehat{DAG}=\widehat{NFG}=\widehat{NDG}$
Do đó $\widehat{BNG}=\widehat{NDG}+\widehat{NGD}=\widehat{GPD}+\widehat{DPK}=\widehat{GPK}$
Suy ra tứ giác $NKPD$ nội tiếp
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được các tứ giác $MPKI ; MIGN$ nội tiếp
Vậy $6$ điểm $G ; P ; I ; K ; M ; N $ cùng thuộc $1$ đường tròn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi soros_fighter: 10-10-2011 - 12:06


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-10-2011 - 07:17

Beta đã ghi 3 bàn thắng mà Alpha vẫn chưa thấy ghi bàn nào ;)) ; trọng tài đang kiểm tra xem có bàn nào trong 3 bàn này ghi trong tư thế liệt vị ko ? ;)

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#6 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3817 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 10-10-2011 - 09:59

E.Galois của ALPHA xin giải câu 3 của BETA
Hình đã gửi
Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử AC = BC = 1. Khi đó, tam giác ABC có:
\[
AB = \sqrt 2 ;p = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};S = \dfrac{1}{2}
\]
(Kí hiệu p, S lần lượt là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC)

Ta có:

\[
r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 2 }}
\]

Mặt khác, do tính chất đường phân giácvà tính chất dãy tỉ số bằng nhau nên:

\[
\begin{array}{l}
\dfrac{{BM}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{AC}} = \dfrac{{BM + CM}}{{AB + AC}} = \dfrac{{BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} \\
\Rightarrow BM = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{2 + \sqrt 2 }} = 2r \\
\end{array}
\]

Ta có điều phải chứng minh

Kết quả : 7/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-10-2011 - 23:01

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-10-2011 - 12:31

xusinst - đội BETA giải bài 3 của ALPHA. ( Bài giải của soros_fighter sai nên mình sửa lại).

Ta thấy $x=0$ hoặc $y=0$ thì không thỏa mãn hệ đã cho

Do đó ta xét với $x ; y \neq 0$. Hệ đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{1}{x^2}+y^2=19 & \\
\dfrac{y}{x}\left ( \dfrac{1}{x}+y \right )=-6 &
\end{matrix}\right.$
Đặt $\dfrac{1}{x}+y=u ; \dfrac{y}{x}=v$;$u^2\geq 4\left | v \right |$ hệ trở thành:
$\left\{\begin{matrix}
u^2-2v=19 & \\
uv=-6 &
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
v=\dfrac{-6}{u} (1)& \\
u^2+\dfrac{12}{u}=19 (2)&
\end{matrix}\right.$
$(2)\Leftrightarrow u^3-19u+12=0\Leftrightarrow (u-4)(u^2+4u-3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4 \\ u = - 2-\sqrt{7} \\ u=-2+\sqrt{7} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4\Rightarrow v=-\dfrac{3}{2}\\u = - 2-\sqrt{7}\Rightarrow v=\dfrac{6}{2+\sqrt{7}}\\u=-2+\sqrt{7}\Rightarrow v=\dfrac{6}{2-\sqrt{7}} \end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện ta có:$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 4;v = - \dfrac{3}{2}}\\
{u = - 2 - \sqrt 7 ;v = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}}
\end{array}} \right.$
TH1: $u = 4 ; v=-\dfrac{3}{2}$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} + y = 4\\
\dfrac{y}{x} = - \dfrac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 4 - \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{{4 - \dfrac{1}{x}}}{x} = - \dfrac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 4 - \dfrac{1}{x}\\
3{x^2} + 8x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \dfrac{{ - 4 + \sqrt {22} }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{4\sqrt {22} - 19}}{{\sqrt {22} - 4}}}\\
{x = \dfrac{{ - 4 - \sqrt {22} }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{19 + 4\sqrt {22} }}{{4 + \sqrt {22} }}}
\end{array}} \right.$
TH2: $u = - 2 - \sqrt 7 ;v = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} + y = - 2 - \sqrt 7 \\
\dfrac{y}{x} = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{{ - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{1}{x}}}{x} = \dfrac{6}{{2 + \sqrt 7 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{1}{x}\\
6{x^2} + \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right)x + 2 + \sqrt 7 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right) + \sqrt {185 + 64\sqrt 7 } }}{{12}} \Rightarrow y = - 2 - \sqrt 7 - \dfrac{{12}}{{\sqrt {185 + 64\sqrt 7 } - \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right)}}\\
x = \dfrac{{ - \left( {11 + 4\sqrt 7 } \right) - \sqrt {185 + 64\sqrt 7 } }}{{12}} \Rightarrow y = - 2 - \sqrt 7 + \dfrac{{12}}{{11 + 4\sqrt 7 + \sqrt {185 + 64\sqrt 7 } }}
\end{array} \right.$
Thử lại thấy 2 nghiệm trên không thỏa.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 4 + \sqrt {22} }}{3};\dfrac{{4\sqrt {22} - 19}}{{\sqrt {22} - 4}}} \right),\,\,\,\left( {\dfrac{{ - 4 - \sqrt {22} }}{3};\dfrac{{19 + 4\sqrt {22} }}{{4 + \sqrt {22} }}} \right),$

Kết quả : 6.5/7 Điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-10-2011 - 23:02


#8 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 10-10-2011 - 13:12

Soros_fighter - đội Beta giải bài 2 của đội Alpha
Bạn nào đội Beta bổ sung cho mình cái hình với nào
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Ta thấy $CEHD ; PKDE ; DFGN ; BDHF ; DPAG $ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow\widehat{DPK}=\widehat{DFK}=\widehat{ADF}=\widehat{ADF}=\widehat{ABE}=\widehat{HDF}=\widehat{DFN}=\widehat{DGN}$
$\widehat{DPG}=\widehat{DAG}=\widehat{NFG}=\widehat{NDG}$
Do đó $\widehat{BNG}=\widehat{NDG}+\widehat{NGD}=\widehat{GPD}+\widehat{DPK}=\widehat{GPK}$
Suy ra tứ giác $NKPG$ nội tiếp
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được các tứ giác $MPKI ; MIGN$ nội tiếp
Vậy $6$ điểm $G ; P ; I ; K ; M ; N $ cùng thuộc $1$ đường tròn

Cao Xuân Huy bổ sung hình vẽ cho bài 2 của soros_fighter.
Hình đã gửi


PSW : Kết quả : 4/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 20-10-2011 - 23:07

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 10-10-2011 - 20:35

khanh3570883 - đội Beta giải bài 4 của đội Alpha
+) Nếu $A \equiv B$ thì T không xác định.
+) Nếu $A \ne B \Rightarrow {x_a} \ne {x_b}$:
Khi m = 2, ta được:
$\begin{array}{l}
\left( {{C_m}} \right):y = \dfrac{{4x + 8}}{{2x + 1}}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_a} = \dfrac{{4{x_a} + 8}}{{2{x_a} + 1}}\\
{y_b} = \dfrac{{4{x_b} + 8}}{{2{x_b} + 1}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow d_1^2 = A{B^2} = {\left( {{x_b} - {x_a}} \right)^2} + {\left( {{y_b} - {y_a}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{4{x_b} + 8}}{{2{x_b} + 1}} - \dfrac{{4{x_a} + 8}}{{2{x_a} + 1}}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2} + \dfrac{{{{12}^2}}}{{{{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}}}{\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2}\left( {1 + \dfrac{{{{12}^2}}}{{{{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}}}} \right)\\
= = {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2}\left( {\dfrac{{{{12}^2} + {{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}}}} \right)
\end{array}$

Khi m=8 thì:
$\begin{array}{l}
\left( {{C_m}} \right):y = \dfrac{{64x + 32}}{{8x + 1}}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_a} = \dfrac{{64{x_a} + 32}}{{8{x_a} + 1}}\\
{y_b} = \dfrac{{64{x_b} + 32}}{{8{x_b} + 1}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow d_2^2 = A{B^2} = {\left( {{x_b} - {x_a}} \right)^2} + {\left( {{y_b} - {y_a}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{64{x_b} + 32}}{{8{x_b} + 1}} - \dfrac{{64{x_a} + 32}}{{8{x_a} + 1}}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2} + \dfrac{{{{192}^2}}}{{{{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {8{x_b} + 1} \right)}^2}}}{\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2}\left( {1 + \dfrac{{{{192}^2}}}{{{{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {8{x_b} + 1} \right)}^2}}}} \right)\\
= = {\left( {{x_a} - {x_b}} \right)^2}\left( {\dfrac{{{{192}^2} + {{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {8{x_b} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {8{x_b} + 1} \right)}^2}}}} \right)
\end{array}$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{d_1^2}}{{d_2^2}} = \dfrac{{\left( {{{12}^2} + {{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}} \right){{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {8{x_b} + 1} \right)}^2}}}{{\left( {{{192}^2} + {{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}\left( {8{x_b} + 1} \right)} \right){{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow T = \dfrac{{{d_1}}}{{{d_2}}} = \sqrt {\dfrac{{\left( {{{12}^2} + {{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}} \right){{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {8{x_b} + 1} \right)}^2}}}{{\left( {{{192}^2} + {{\left( {8{x_a} + 1} \right)}^2}\left( {8{x_b} + 1} \right)} \right){{\left( {2{x_a} + 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_b} + 1} \right)}^2}}}}
\end{array}$

PSW : 7/7 điểm

Bài này sai đề nên thành ra không có ý nghĩa Toán học :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 20-10-2011 - 23:05

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#10 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 10-10-2011 - 22:02

Nguyễn Hoàng Lâm - Đội Alpha giải bài 1 của đội Beta:
Với một số bất kì ta có :
$ q^2 \equiv 0 , 1 (mod 4 ) $
Ta thấy :
$ 3^n \equiv (-1)^n ( mod 4 ) ; 63 \equiv -1 ( mod 4 )$
$ \Rightarrow 3^n+63 \equiv (-1)^n-1 ( mod 4 ) $
Nếu n lẻ thì $ 3^n+63 \equiv -2 ( mod 4 ) $
Do đó n chẵn . Đặt $ n=2k $, và không mất tính tổng quát , giả sử $ q>0 $ ta có :
$ 3^{2k} +63 =q^2 \Rightarrow (q-3^k)(q+3^k)=63 $
Xảy ra các trường hợp :
1) $ \left\{\begin{matrix} {q-3^k=1 }\\ {q+3^k=63 } \end{matrix}\right. \Rightarrow 2q=64 \Rightarrow q=32 $
Thử lại ta thấy không thỏa .
2) $ \left\{\begin{matrix} {q-3^k=3 }\\ {q+3^k=21 } \end{matrix}\right. \Rightarrow 2q=24 \Rightarrow q=12 $
THay vào lại phương trình ban đâu ta được
$ n =4 $
3) $ \left\{\begin{matrix} {q-3^k=7 }\\ {q+3^k=9 } \end{matrix}\right. \Rightarrow 2q=16 \Rightarrow q=8
\Rightarrow n =0 $
Do đó với mọi $ n \neq 0,4 $ thì $ 3^n+63 $ không thể là số chính phương .

PSW : Kết quả : 6/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-10-2011 - 07:07

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#11 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-10-2011 - 22:22

Tỷ số tạm thời đang là 4-2 nghiêng về Beta :X :X :X ; Alpha đừng nản và Beta nhớ duy trì nhé :D

@ Vietfrog : do mình không chắc chắn gì về lời giải bài Toán số 4 nên đề nghị bạn gửi riêng cho mình qua tin nhắn lời gỉai bài đó để mình chấm thi cho dễ :)

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#12 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3817 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 11-10-2011 - 00:48

E.Galois của ALPHA xin giải câu 4 của BETA

Câu 4 :
Cho ba số nguyên không âm bất kì $ a ; b ; c$ . Mỗi 1 bước ta biến bộ $(a;b;c)$ thành bộ $ ( |b-c| ; |c-a| ; |a-b| ) $ . Chứng minh rằng ; sau một số hữu hạn các bước ; ta sẽ thu được 1 bộ có chứa số $0$

Giải



Đặt
$$(a_0;b_0;c_0) = (a;b;c) $$
\[
\left( {{\rm{a}}_{{\rm{n + 1}}} ;b_{n + 1} ;c_{n + 1} } \right) = \left( {\left| {b_n - c_n } \right|;\left| {c_n - a_n } \right|;\left| {a_n - b_n } \right|} \right),\forall n \ge 0
\]

Dễ thấy:
$$\max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \} > \max \{ a_1 ;b_1 ;c_1 \}$$

Ta chứng minh rằng:
ở bước thứ $n (n \ge 1)$, hoặc ta thu được một bộ số có số 0
hoặc
\[
\max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \} > \max \{ a_1 ;b_1 ;c_1 \} > ... > \max \{ a_{n + 1} ;b_{n + 1} ;c_{n + 1} \} (A)
\]

Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp
*Với $n = 1$, nếu có một trong ba số $a_1 ;b_1 ;c_1$ bằng 0 thì ở bài toán được giải quyết xong. Nếu không, không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $a_1 \le b_1 \le c_1$, ta có

\[
\max \left\{ {a_2 ;b_2 ;c_2 } \right\} = c_1 - a_1 < c_1 = \max \left\{ {a_1 ;b_1 ;c_1 } \right\} < \max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \}
\]
Vậy mệnh đề (A) đúng với n = 1.

Giả sử mệnh đề (A) đúng với $n = k \ge 1 $, tức là

ở bước thứ $n (n \ge 1)$, hoặc ta thu được một bộ số có số 0
hoặc
\[
\max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \} > \max \{ a_1 ;b_1 ;c_1 \} > ... > \max \{ a_{k + 1} ;b_{k + 1} ;c_{k + 1} \}
\]

Khi đó, ở bước thứ $k+1$, nếu có một trong ba số $a_{k+1} ;b_{k+1} ;c_{k+1}$ bằng 0 thì ở bài toán được giải quyết xong. Nếu không, không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $a_{k+1} \le b_{k+1} \le c_{k+1}$, ta có

\[
\max \left\{ {a_{k+2} ;b_{k+2} ;c_{k+2} } \right\} < \max \left\{ {a_{k+1} ;b_{k+1} ;c_{k+1} } \right\}
\]

Do đó:
\[
\max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \} > \max \{ a_1 ;b_1 ;c_1 \} > ... > \max \{ a_{k + 2} ;b_{k + 2} ;c_{k + 2} \}
\]
Vậy mệnh đề (A) đúng với mọi $n \ge 1$.

Từ (A) ta suy ra rằng nếu đến bước thứ $n = \max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \} + 2$ ta chưa thu được một bộ có số 0 thì ta thu được 1 dãy số nguyên dương đơn điệu giảm nghiêm ngặt:
\[
\max \{ a_0 ;b_0 ;c_0 \} ; \max \{ a_1 ;b_1 ;c_1 \} ; ... ; \max \{ a_{n + 1} ;b_{n + 1} ;c_{n + 1} \};
\]
Dãy số này phải có số hạng cuối bằng 0.

Ta có điều phải chứng minh.

PSW : 5/7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 01-11-2011 - 12:25

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#13 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 11-10-2011 - 14:11

khanh3570883 - đội Beta giải bài 5 của đội Alpha (lần trước giải nhầm :sad:)

Kẻ $AH \bot CD \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = const$
Vậy khi x thay đổi thì A di động trên mặt cầu (H, AH), ta chỉ xét phần mặt cầu trên vì phần dưới chỉ là ảnh đối diện của mặt trên.
Gọi (H) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (BCD)
(H) chia không gian thành 2 phần, phần (1) chứa D, phần (2) không chứa D (không tính các điểm thuộc (H) )
Xét điểm A' thuộc mặt cầu tâm H, bán kính AH, A'' thuộc (H), theo định lý Pi-ta-go thì CA''=1
TH1: Nếu $A' \in (1)$, xét mặt phẳng (CA''A')
Vì $A' \in (1)$ nên $\angle CA''A' > 90$, theo tính chất về góc và cạnh đối diện, ta được CA' > CA'' = 1
Vậy A không di động trên phần mặt cầu thuộc (1)
TH2: $A' \in (2)$, tương tự ta sẽ được CA' < CA'' = 1
Vậy A không di động trên phần mặt cầu thuộc (2)
TH3: $A' \in (H)$, rõ ràng CA'=1
Vậy A di động trên đường tròn (H, AH) và $A \in \left( H \right)$
Vì hình chiếu vuông góc của hình tròn lên mặt phẳng là một hình tròn, hình elip hoặc đường thẳng mà (H, AH) thuộc (H) vuông góc với mp(BCD) nên hình chiếu của (H, AH) trên mp(BCD) là đường thẳng.
Mặt khác, khi $A \equiv B$ thì hình chiếu của A lên mp(BCD) là B, khi $BH \bot AH$ thì hình chiếu của A lên mp(BCD) là H. Vậy hình chiếu của (H, AH) là BH, nói cách khác chân đường cao AK của tứ diện di động trên BH.
Ta có:
$V = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta BCD}}.AK = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.AK$
Vậy ${V_{\max }} \Leftrightarrow A{K_{\max }} \Rightarrow AK = AH \Rightarrow AK \bot BH$
Khi đó: $x = \sqrt {B{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{2}} $
${V_{\max }} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta BCD}}.AH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{1}{8}$

PSW : 5/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 20-10-2011 - 23:13

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#14 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 11-10-2011 - 22:05

Nguyễn Hoàng Lâm - Đội Alpha xin giải câu 6 của Đội Beta :

Ta có : $ u_1 = -1 $

$ \left\{\begin{matrix} {u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2011}+(-1)^n} \\ {u_{n-1} =\dfrac{u_{n-2}}{2011}+(-1)^{n-1} } \end{matrix}\right. \Rightarrow u_n+u_{n-1}=\dfrac{1}{2011}(u_{n-1}+u_{n-2} ) $
Suy ra $ u_n+u_{n-1} =\dfrac{1}{2011^{n-1}}(u_1+u_0) =\dfrac{u_1}{2011^{n-1}} $
Suy ra $ u_n=\dfrac{u_1}{2011^{n-1}} -u_{n-1} $
Nếu n chẵn ta có :
$ u_n = \dfrac{u_1}{2011^{n-1}} -\dfrac{u_1}{2011^{n-2}} +....+\dfrac{u_1}{2011} -u_1 $
$ \Rightarrow u_n = -u_1\dfrac{1-(\dfrac{-1}{2011})^{n-1}}{1-\dfrac{-1}{2011}} $(Tổng hạng tử Cấp số nhân với công bội $ q= \dfrac{-1}{2011} $ )
Tương tự với n lẻ ta được $ u_n=u_1\dfrac{1-(\dfrac{-1}{2011})^{n-1}}{1-\dfrac{-1}{2011}} $
Suy ra $ u^2_n = u_1^2[\dfrac{1-(\dfrac{-1}{2011})^{n-1}}{1-\dfrac{-1}{2011}}]^2 $
Suy ra $ Lim u^2_n = lim u_1^2[\dfrac{1-(\dfrac{-1}{2011})^{n-1}}{1-\dfrac{-1}{2011}}]^2 =(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2011}})^2 =(\dfrac{2011}{2012})^2 $

PSW : Kết quả : 8/8 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-10-2011 - 07:12

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#15 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-10-2011 - 22:47

Xem ra Beta đang từ thế gần thắng trở thành thế nguy hiểm khi Alpha đã xử ra con Át chủ bài của họ . Beta cố lên nhé :)

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#16 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 11-10-2011 - 23:26

vietfrog- Đội Alpha xin làm câu 2 của đội Beta.
Ta sẽ sử dụng Định lý Menelaus cho bài toán này. Định lý này gần gũi với THCS :tongue: .
Bài làm
Hình vẽ:
Hình đã gửi
* Xét $\Delta AA'B$ có: $C' \in AB;P \in AA';CP \cap BA' = C$
Theo Định lý Menelaus ta có:
\[\dfrac{{AP}}{{A'P}}.\dfrac{{A'C}}{{BC}}.\dfrac{{BC'}}{{AC'}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{AP}}{{A'P}}.\dfrac{2}{3}.1 = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{AP}}{{A'P}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{A'P}}{{AA'}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow A'P = \dfrac{2}{5}AA'\]
* Xét $\Delta AA'C$ có:$M \in AA';B' \in AC;MB' \cap A'C = B$
Theo Định lý Menelaus ta có:
\[\dfrac{{AM}}{{A'M}}.\dfrac{{A'B}}{{CB}}.\dfrac{{CB'}}{{AB'}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{AM}}{{A'M}}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{AM}}{{A'M}} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{A'M}}{{AA'}} = \dfrac{1}{{10}} \Leftrightarrow A'M = \dfrac{1}{{10}}.AA'\]
Suy ra được:$PM = PA' - MA' = \dfrac{3}{{10}}AA'$
Tương tự:

* Xét $\Delta CC'A$: có:$N \in CC';B' \in AC;B'N \cap A'C = B$
Theo Định lý Menelaus ta có:
\[\dfrac{{CN}}{{C'N}}.\dfrac{{C'B}}{{AB}}.\dfrac{{AB'}}{{CB'}} = 1 \Leftrightarrow CN = \dfrac{2}{5}CC'\]

* Xét $\Delta CC'B$: có:$D \in CC';A' \in BC;PA' \cap BC' = A$
Theo Định lý Menelaus ta có:
\[\dfrac{{CP}}{{C'P}}.\dfrac{{C'A}}{{BA}}.\dfrac{{BA'}}{{CA'}} = 1 \Leftrightarrow CP = \dfrac{4}{5}CC'\]
Suy ra được :$PN = PC - CN = \dfrac{2}{5}CC'$
-Ta có:

+)$\dfrac{{dtMNP}}{{dtPA'C}} = \dfrac{{PM}}{{PA'}}.\dfrac{{PN}}{{PC}} = \dfrac{{\dfrac{3}{{10}}}}{{\dfrac{2}{5}}}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{8}$

+)$\dfrac{{dtPA'C}}{{dtAA'C}} = \dfrac{{PA'}}{{AA'}} = \dfrac{2}{5}$ ; $\dfrac{{dtAA'C}}{{dtABC}} = \dfrac{{A'C}}{{BC}} = \dfrac{2}{3}$



\[ \Rightarrow \dfrac{{dtMNP}}{{dtABC}} = \dfrac{3}{8}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{{10}}\]
\[ \Leftrightarrow dtMNP = \dfrac{S}{{10}}\]

PSW : Kết quả : 6/6 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-10-2011 - 22:01

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#17 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 12-10-2011 - 13:57

Vì cấp 2 em học không thấy định lí Menelaus được dạy như một bài chính thức trong SGK lẫn nâng cao nên anh vietfrog cần chứng minh lại trước khi giải mới được hoặc anh gửi lời giải khác cho bài này.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#18 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-10-2011 - 16:36

Định Lý Menelaus là định lý thông dụng ; và trên THTT đã có nhiều lần cho sử dụng ở cấp THCS không qua chứng minh ; nên nếu lời gỉai trên về nội dung là đúng thì không cần bổ sung phần chứng minh định lý ; vẫn dc trọn điểm :)

Tình thế giờ đúng là ngàn cân treo sợi chỉ nhỉ ; cả 2 đội đều còn đúng 1 bài là xong ; tuy nhiên Beta đang ở thế hơi bất lợi hơn 1 tí - Ta cùng trông chờ vào sự toả sáng của 1 ngôi sao bên Beta nhé :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-10-2011 - 18:16

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#19 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 12-10-2011 - 20:52

Do có chút vấn đê nên h.vuong_pdl phải gõ bằng pdf. Mong các bạn + ban trọng tài thông cảm. :)

Sau đây là lời giải của h.vuong_pdl cho bài 5 của đội bêta.

Bài giải hệ phương trình

rongden_167


#20 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-10-2011 - 22:27

Hơi buồn 1 chút :(

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh