Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}\geq 3$
Bất đẳng thức
Bắt đầu bởi HÀ QUỐC ĐẠT, 10-10-2011 - 19:48
#1
Đã gửi 10-10-2011 - 19:48
#2
Đã gửi 16-06-2012 - 19:36
Áp dụng bđt AM - GM, ta có:
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt {\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{a+b}{c+ab}.\frac{b+c}{a+bc}.\frac{c+a}{b+ca}}$
Do đó, ta đưa được về chứng minh bđt sau:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$
Mặt khác, theo AM - GM, ta lại có:
$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4} $
Tương tự với các bđt khác, nhân theo từng vế, ta được:
$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$
Theo AM - GM, dễ thấy $(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8$
Do đó, ta chứng minh được: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$
Suy ra, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Những bài toán chưa có lời giải
http://diendantoanho...showtopic=70497
Đây là bài 2 - #1
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt {\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{a+b}{c+ab}.\frac{b+c}{a+bc}.\frac{c+a}{b+ca}}$
Do đó, ta đưa được về chứng minh bđt sau:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$
Mặt khác, theo AM - GM, ta lại có:
$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4} $
Tương tự với các bđt khác, nhân theo từng vế, ta được:
$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$
Theo AM - GM, dễ thấy $(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8$
Do đó, ta chứng minh được: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$
Suy ra, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Những bài toán chưa có lời giải
http://diendantoanho...showtopic=70497
Đây là bài 2 - #1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 16-06-2012 - 19:36
- Nxb và no matter what thích
#3
Đã gửi 23-07-2015 - 14:40
Ta có: $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}=\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(c+ab)}}\geq \frac{2(a+b)}{3+ab}\geq \frac{8(a+b)}{12+(a+b)^2}=\frac{8(3-c)}{12+(3-c)^2}$
Vậy nên cần c/m: $\sum \frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{3}{8}$
Ta có $\frac{3-x}{12+(3-x)^2}\geq \frac{5-x}{32}\Leftrightarrow (9-x)(x-1)^2\geq 0$ luôn đúng với $x\in (0,3)$
Nên $\sum \frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{15-3}{32}=\frac{3}{8}$
Vậy có đpcm
- Super Fields, marcoreus101, Quoc Tuan Qbdh và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh