Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
:icon6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

#2
kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
Áp dụng bđt AM - GM, ta có:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt {\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{a+b}{c+ab}.\frac{b+c}{a+bc}.\frac{c+a}{b+ca}}$

Do đó, ta đưa được về chứng minh bđt sau:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$

Mặt khác, theo AM - GM, ta lại có:

$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4} $

Tương tự với các bđt khác, nhân theo từng vế, ta được:

$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$

Theo AM - GM, dễ thấy $(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8$

Do đó, ta chứng minh được: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$

Suy ra, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Những bài toán chưa có lời giải


http://diendantoanho...showtopic=70497

Đây là bài 2 - #1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 16-06-2012 - 19:36


#3
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

 Ta có: $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}=\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(c+ab)}}\geq \frac{2(a+b)}{3+ab}\geq \frac{8(a+b)}{12+(a+b)^2}=\frac{8(3-c)}{12+(3-c)^2}$

 Vậy nên cần c/m: $\sum \frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{3}{8}$

 Ta có $\frac{3-x}{12+(3-x)^2}\geq \frac{5-x}{32}\Leftrightarrow (9-x)(x-1)^2\geq 0$ luôn đúng với $x\in (0,3)$ 

  Nên $\sum \frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{15-3}{32}=\frac{3}{8}$

 Vậy có đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh