Đến nội dung

Hình ảnh

Hệ phương trình

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
bebo12

bebo12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Giải các hệ sau
1. $ \left\{\begin{aligned}x^{4}-y^{4}= 240\\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{aligned}\right. $

2. $ \left\{\begin{aligned}x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+y^{2}x^{2}+9x\\ x(y^{3}-x^{3})=7\end{aligned}\right. $

3. $ \left\{\begin{aligned}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{aligned}\right. $

4. $ \left\{\begin{aligned}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}\\(x+\dfrac{1}{x})^{y}=(y+\dfrac{1}{y})^{x}\end{aligned}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bebo12: 12-10-2011 - 17:44


#2
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
$ \begin{Bmatrix}\\x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{matrix}$
giả sử $ x\geq y thì x+\sqrt{x^{2}-2x+2}\geq y+\sqrt{y^{2}-2y+2}
\Rightarrow 3^{y-1}\geq 3^{x-1}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
giải pt $ x+x^{2}+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{x-1}+1$
là xong
cái hệ trên tớ gõ sai đâu mà nó cứ ra sai nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 12-10-2011 - 18:04


#3
bebo12

bebo12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

$ \begin{Bmatrix}\\ x+ \sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\ y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1 \end{matrix}$
giả sử $ x\geq y thì x+\sqrt{x^{2}-2x+2}\geq y+\sqrt{y^{2}-2y+2}
\Rightarrow 3^{y-1}\geq 3^{x-1}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
giải pt $ x+x^{2}+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{x-1}+1$
là xong
cái hệ trên tớ gõ sai đâu mà nó cứ ra sai nhỉ

Mình cũng giải ra chỗ này bằng cách cộng vế đạo hàm rồi, xong chẳng biết cách giải tiếp nữa =.=

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Giải các hệ sau
3. $ \left\{\begin{aligned}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{aligned}\right. $ (1)


Đặt: $u = x - 1;v = y - 1$. Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + \sqrt {{u^2} + 1} = {3^v}\\
v + \sqrt {{v^2} + 1} = {3^u}
\end{array} \right.$

Trừ theo vế của 2 phương trình trên ta được $u + \sqrt {{u^2} + 1} + {3^u} = v + \sqrt {{v^2} + 1} + {3^v}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = t + \sqrt {{t^2} + 1} + {3^t}$ có $f'\left( t \right) = \dfrac{{\sqrt {{t^2} + 1} + t}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} + {3^t}\ln 3$ và $\sqrt {{t^2} + 1} > \sqrt {{t^2}} \ge - t \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\,\forall t$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $R$.

Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow u = v$. Thay vào 1 phương trình ta có: $u + \sqrt {{u^2} + 1} = {3^u}\,\,\,(3) \Rightarrow \ln \left( {u + \sqrt {{u^2} + 1} } \right) - u\ln 3 = 0$

Xét hàm số: $g\left( u \right) = \ln \left( {u + \sqrt {{u^2} + 1} } \right) - u\ln 3$ có $g'\left( u \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{u^2} + 1} }} - \ln 3 < 1 - \ln 3 < 0\,\,\,\,\,\forall u \in R$ suy ra $g\left( u \right)$ nghịch biến trên $R$.

Mặt khác phương trình (3) có nghiệm $u=0$ nên có nghiệm ban đầu của hệ (1) là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$.

1. $ \left\{\begin{aligned}x^{4}-y^{4}= 240\\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{aligned}\right. $


Đây là câu 1 trong đề VMO 2010. Bạn xem chi tiết ở đây.
File gửi kèm  VMO 2010 bài 1..doc   36.5K   529 Số lần tải

#5
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Giải các hệ sau

2. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {x^3}y + 9y = {y^3}x + {y^2}{x^2} + 9\,\,\,\,\,\,(1)\\
x({y^3} - {x^3}) = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$

4. $ \left\{\begin{aligned}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}\\(x+\dfrac{1}{x})^{y}=(y+\dfrac{1}{y})^{x}\end{aligned}\right. $


Bài 2.

Dễ thấy $x \ne y$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 9\left( {x - y} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + 2{x^2}y + x{y^2} - 9} \right) = 0 \Rightarrow {x^3} + 2{x^2}y + x{y^2} - 9 = 0\,\,\,\,\,(3)$

$\left( 2 \right) \Rightarrow y = \sqrt[3]{{\dfrac{7}{x} + {x^3}}}$, thay vào (3) ta được: ${x^3} + 2{x^2}\sqrt[3]{{\dfrac{7}{x} + {x^3}}} + x\sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{7}{x} + {x^3}} \right)}^2}}} - 9 = 0\,\,\,\,\,(4)$

Dùng hàm số ta thấy phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x=1$, suy ra $y=2$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$.

#6
bebo12

bebo12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Thanks nhé

MoD: Đừng nên spam bạn nhé. Lần sau thì mình sẽ xóa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-10-2011 - 18:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh