Chủ đề này có 30 trả lời

[anh qua]

Anh Khuê đã cho mọi người mở rộng tầm mắt, lời giải trên hay thật!!
@ Nesbit: Anh nên post nhiều bài như thế này từ lâu rồi.

[Nesbit]

Hoá ra anh Khuê học Toán cao cấp ngay từ hồi còn THPT

Theo em thì chỗ nào thuộc Toán cao cấp

[Nesbit]

Post nốt lời giải của Bài 4.


Bài 4. Chứng minh rằng với mọi $k \ge -2$ và $a,b,c \ge 0$ ta có $$\dfrac{a}{b^2+kbc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+kca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+kab+b^2} \ge \dfrac{\min \left(4,\dfrac{9}{k+2}\right)}{a+b+c}.$$

Lời giải. Trước hết, ta chứng minh BĐT trên với $k=\dfrac{1}{4}$, nghĩa là $$\dfrac{a}{4b^2+bc+4c^2}+\dfrac{b}{4c^2+ca+4a^2}+\dfrac{c}{4a^2+ab+4b^2} \ge \dfrac{1}{a+b+c}.$$
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\text{Vế trái} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a(4b^2+bc+4c^2)}.$$
Chỉ cần chứng minh $$(a+b+c)^3 \ge \sum a(4b^2+bc+4c^2),$$ hay $$a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c+ca(c+a).$$
BĐT cuối cùng chính là BĐT Schur cho ba số. Vậy BĐT đã được chứng minh khi $k=\dfrac{1}{4}$, với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị tương ứng.
Bây giờ, nếu $k>\dfrac{1}{4}$, sử dụng BĐT $b^2+kbc+c^2 \le \dfrac{4(k+2)}{9}\left(b^2+\dfrac{1}{4}bc+c^2\right)$ ta có $$\sum \dfrac{a}{b^2+kbc+c^2} \ge \dfrac{9}{4(k+2)}\cdot\dfrac{a}{b^2+\dfrac{1}{4}bc+c^2} \ge \dfrac{9}{(k+2)(a+b+c)}=\dfrac{\min \left(4,\dfrac{9}{k+2}\right)}{a+b+c}.$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Nếu $-2 \le k < \dfrac{1}{4}$, sử dụng BĐT $b^2+kbc+c^2 \le b^2+\dfrac{1}{4}bc+c^2$ ta có $$\sum \dfrac{a}{b^2+kbc+c^2} \ge \dfrac{a}{b^2+\dfrac{1}{4}bc+c^2} \ge \dfrac{4}{a+b+c} =\dfrac{\min \left(4,\dfrac{9}{k+2}\right)}{a+b+c}.$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị.
BĐT được chứng minh hoàn toàn. $\square$

[Nesbit]

Nếu không ai có thắc mắc hoặc ý kiến gì thì ngày mai sẽ post tiếp thêm vài bài nữa.

[Zaraki]

Bài này sao anh không đưa lên báo để lấy ít tiền tiếp tục nhậu.

[alex_hoang]

Thật là mở rộng tầm mắt quá lời giải đẳng cấp thật .Mong anh cho thêm mấy bài để anh em thử sức tinh tế thật

[Nesbit]

Thêm một vài bài để anh em thư giãn trước khi đến với một số bài toán tổng quát khác. Không sắp xếp theo độ khó.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau ta có $$\dfrac{a^2}{(a-b)^2}+\dfrac{b^2}{(b-c)^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)^2}\ge 1.$$ Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 6. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{3a^2+(a-1)^2}+\dfrac{1}{3b^2+(b-1)^2}+\dfrac{1}{3c^2+(c-1)^2} \ge 1.$$

Bài 7. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{7-6a}{2+a^2}+\dfrac{7-6b}{2+b^2}+\dfrac{7-6c}{2+c^2} \ge 1.$$ Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 8. Với mọi số thực không âm $a,b,c$ đôi một khác nhau, chứng minh rằng $$\dfrac{1}{(a-b)^{2}}+\dfrac{1}{(b-c)^{2}}+\dfrac{1}{(c-a)^{2}}\ge\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.$$

Bài 9. Chứng minh BĐT sau với $a,b,c$ không âm $$\dfrac{a}{\sqrt{2a+3b}}+\dfrac{b}{\sqrt{2b+3c}}+\dfrac{c}{\sqrt{2c+3a}} \le k\sqrt{a+b+c}$$ trong đó $k=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{-1+\sqrt{3}}}+\sqrt{\dfrac{-5+3\sqrt{3}}{2}}$.

[alex_hoang]

Bài 5,6 thì có ở đây http://diendantoanho...showtopic=58309
bài 8 thì tương tự bài này http://www.artofprob....com/blog/41444

[alex_hoang]

Bài 9 chắc là khó vì thấy nó na ná bđt Jack grafukell rồi

[alex_hoang]

Ôi trời ơi sao ngu thế không biết,bài 9 là nhớ làm ở đâu đó rồi mà tìm link mãi không thấy thì ra nó ở đây ngay trong diễn đàn và ngay trong phần bất đẳng thức Olympic
http://diendantoanho...showtopic=66230
Trong tài liệu quí giá trên anh Khuê đã chứng minh một kết quá kinh điển và hết sức tổng quát
Cho $q$ là số thực thỏa mãn$0 \le q \le \dfrac{1}{2}$ hoặc là $q \ge \dfrac{{13 + 5\sqrt {13} }}{{26}}$.Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất để BĐT sau đây đúng
\[\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{a + qb}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{b + qc}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{c + qa}}} \le k\sqrt {a + b + c} \]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 30-12-2011 - 18:20

[Nesbit]

Nếu em đọc luôn phần nhận xét thì sẽ thấy là trong bài viết đó, anh đã chứng minh cho $$q \ge \dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{\dfrac{14+6\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}{2+6\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}}\right).$$

Trong bốn bài trên, bài số 9 chắc là hơi khó, post lên để tham khảo thôi. Bài số 5 thì tuy không khó nhưng rất đẹp. Nhưng mà những bài đáng làm nhất là các bài 6, 7 và 8. Những bạn có ý định thi học sinh giỏi (tỉnh, QG, 30-4, v.v... ) thì nên thử làm ba bài này. Lời giải của mình chứa đựng một số kĩ thuật khá mạnh, có thể sẽ rất hữu ích trong phòng thi. Ví dụ như nếu biết được kĩ thuật giải bài 8, thì có thể giải bài BĐT trong kì thi HSG Quốc gia 2007-2008 trong vòng 1 phút.

Không có nhiều thời gian nên không thảo luận được nhiều, các bạn thông cảm.