Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}
&f(\sqrt{2}x)=2f (x)\\
&f(x+1)=f(x)+2x+1
\end{matrix}\right.$
Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn: $$\left\{\begin{matrix} &f(\sqrt{2}x)=2f (x)\\ &f(x+1)=f(x)+2x+1 \end{matrix}\right.$$
Bắt đầu bởi tuithichtoan, 13-10-2011 - 22:17
#1
Đã gửi 13-10-2011 - 22:17
tuithichtoan
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.
I'll always smile.
Try my best.
#2
Đã gửi 14-10-2011 - 22:36
Didier
-
- Thành viên
-
- 403 Bài viết
đẹp zai có một ko hai
$ f(\sqrt{2}x)=f(x)$
$ x=0$ vào pt trên ta có $ f(0)=0$
thay$ x=0 $vào pt $ f(x+1)=f(x)+2x+1$
$ \Rightarrow f(1)=1$
ta có pt(2)tương đương $ f(x+1)-f(x)=2x+1$
cho x chạy từ $ 1\rightarrow n-1$
$ \sum_{x=1}^{n-1}(f(x+1)-f(x))=2(1+2+....n-1)+n-1$
$ f(n)-f(1)=(n-1)n+n-1$
$ f(n)=f(1)+(n-1)n+n-1$
$ f(n)=n^{2}$
thay vào pt (1) tháy đúng
$ x=0$ vào pt trên ta có $ f(0)=0$
thay$ x=0 $vào pt $ f(x+1)=f(x)+2x+1$
$ \Rightarrow f(1)=1$
ta có pt(2)tương đương $ f(x+1)-f(x)=2x+1$
cho x chạy từ $ 1\rightarrow n-1$
$ \sum_{x=1}^{n-1}(f(x+1)-f(x))=2(1+2+....n-1)+n-1$
$ f(n)-f(1)=(n-1)n+n-1$
$ f(n)=f(1)+(n-1)n+n-1$
$ f(n)=n^{2}$
thay vào pt (1) tháy đúng
#3
Đã gửi 18-12-2011 - 20:43
Nguyễn Hưng
-
- Thành viên
-
- 140 Bài viết
Trung sĩ
$ f(\sqrt{2}x)=f(x)$
$ x=0$ vào pt trên ta có $ f(0)=0$
thay$ x=0 $vào pt $ f(x+1)=f(x)+2x+1$
$ \Rightarrow f(1)=1$
ta có pt(2)tương đương $ f(x+1)-f(x)=2x+1$
cho x chạy từ $ 1\rightarrow n-1$
$ \sum_{x=1}^{n-1}(f(x+1)-f(x))=2(1+2+....n-1)+n-1$
$ f(n)-f(1)=(n-1)n+n-1$
$ f(n)=f(1)+(n-1)n+n-1$
$ f(n)=n^{2}$
thay vào pt (1) tháy đúng
Hình như vậy thì mới chỉ có thể kết luận $f(x)=x^2$ với mọi $x$ nguyên không âm thôi nhỉ?
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
