1/ Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau : $\dfrac{{dx}}{{x(y - 1)}} + \dfrac{{dy}}{{y(x + 2)}} = 0;y(1) = 1$
2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : $y'' + 9y = 6.{e^{3x}}$
Bài 2: (post by knight-ctscht)
1/ Cho hàm $f$ khả tích trên [0;1] sao cho $\int\limits_0^1 f (x)dx > 0$. Chứng minh rằng $\exists \left[ {a;b} \right] \subset \left[ {0;1} \right]$ sao cho $f\left( x \right) > 0\,\,\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$.
2/ Cho $f$ là hàm lồi , khả tích. Chứng minh rằng: $(b - a)f(\dfrac{{a + b}}{2}){a_n}\int\limits_a^b f (x)dx \le (b - a)\dfrac{{f(a) + f(b)}}{2}$.
3/ Cho $f$ là hàm khả tích trên [0;1]. Đặt ${\delta _n} = \int\limits_0^1 f (x)dx - \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n f (\dfrac{k}{n})$.
a) Cho $f$ đơn điệu trên [0;1]. Chứng minh dãy ${n \delta _{n}} $ bị chặn.
b) Vẫn giả thiết ở câu $a)$ và thêm điều kiện $f'(x)$ liên tục trên [0;1]. Chứng minh tồn tại $ lim n \delta _{n} $.
Bài 3: (post by ctlhp)
Cho $f:\left[ {0,1} \right] \to {R^ + }$ tăng. CMR tồn tại $g:\left[ {0,1} \right] \to {R^ + }$ sao cho $ g\leq f$ và $\int\limits_{0}^{1}g(x)dx \geq\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}f(x)dx $.
Bài 4: (post by Blue River)
Cho $\tau(n) $ là số các ước số của $n$. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $C$ không phụ thuộc $k$ sao cho $\sum_{n=1}^k \tau(n) \leq C.k.ln(k)$.
Bài 5: (post by Hưng2512)
Tính tích phân: $\int\limits_{0}^{ \infty }\dfrac{x^{3}}{e^{x} - 1}dx $
Bài 6: (post by tungxxaa123)
Tính giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{e^{{x^3}}} - 1} \right){x^4}}}{{\left( {1 - \cos {x^2}} \right)\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}$
Bài 7: (post by mai quoc thang)
1/ Chứng minh rằng hàm $ \ F(z)=\int_{z_0}^{z}\dfrac{\sqrt{1-w^4}}{w^2}dw $ ( $ \ z_0 \neq 0 $ ) là một phép biễu diễn bảo giác từ đĩa đơn vị lên một hình vuông.
2/ Giải phương trình đạo hàm riêng: $ x_1 \dfrac{{\partial u}}{{\partial x_1 }} + x_2 \dfrac{{\partial u}}{{\partial x_2 }} = u - x_1 ^2 - x_2 ^2 $
Bài 8: (post by tranquocluat_ht)
Xét tính khả vi của hàm $f(x,y)=\sqrt{|xy|}+\sqrt[3]{x^3+y^3}$
Bài 9: (post by Pirates)
Giải phương trình vi phân: $(x^2 + 2y)dx + (x^3 y - x)dy = 0$.
Bài 10: (post by leanhphuong)
Tìm cực trị của các hàm sau:
1/ $z = \sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}} $
2/ $z = {{\rm{x}}^{\rm{3}}} + {\rm{ }}{{\rm{y}}^{\rm{3}}} - {\rm{ }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 2xy }} - {{\rm{y}}^{\rm{2}}}
3/ $z = {\rm{2}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}} + {\rm{ }}{{\rm{y}}^{\rm{4}}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}$
4/ $z = {\rm{sinx }} + {\rm{ cosy }} + {\rm{ cos}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)$
Bài 11: (post by L_Euler)
Cho $f(x) \in \mathbb{C}^1[0,1]$ thỏa mãn điều kiện tồn tại $a \in (0,1)$ sao cho $f(a).f'(a)<0$.
Biết rằng $f(0)=0$. Chứng minh rằng tồn tại $b \in (0,1)$ thỏa mãn $f'(b)=0$.
Bài 12: (post by frazier)
Khai triển $y = ln\sqrt {({x^2} + 2x + 1)} $ thành chuỗi Taylor tại lân cận $x=-1$.
Bài 13: (post by huykhang)
Tính: $\int\int\int (x+y+z)^2 dxdydz$, M duoc gioi han boi cac mien $2az\geq x^2+y^2, x^2+y^2+z^2 \leq 3a^2$
Bài 14: (post by ga2011)
1. Xét sự hội tụ của tích phân sau:
$\int_{a}^{b}{\dfrac{(b-x)^p\ln(b-x)}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}}{dx}$
2. Xét sự hội tụ, tính liên tục và khả vi của dãy hàm sau.
$f_n(x)=arctg$$\dfrac{x}{n^2}$
3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm sau.
$f(x)=$$\sum_{n=0}^\infty\dfrac{\ln(1+nx)}{n^\alpha}$
Bài 15: (post by hanlanggiang)
Biểu diễn hình học của hàm $z = \arcsin \left(\dfrac{y-1}{x} \right)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 15-10-2011 - 19:38