Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia lớp 12 năm học 2011-2012
Môn: Toán- Vòng 1
(Hà Tĩnh)
Câu 1: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a > b > c > 0$. Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$$\sqrt {x - a} - \sqrt {x - b} + \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {x - c} }} = 0$$
Câu 2: Tính các góc của tam giác nhọn ABC,biết:
$$\dfrac{1}{3}\left( {\cos 3A + \cos 3B} \right) + \cos A + \cos B + \cos C = \dfrac{5}{6}$$
Câu 3: Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ với $n = 1,2,3,...$ bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
$${x_{n + 2}} \ge \dfrac{1}{4}{x_{n + 1}} + \dfrac{3}{4}{x_n}\,,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.
Câu 4: Các đỉnh $A, B, C$ của tam giác nhọn $ABC$ lần lượt nằm trên các cạnh ${B_1}{C_1},\,{C_1}{A_1},\,{A_1}{B_1}$ của tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ sao cho: $\widehat {ABC} = \widehat {{A_1}{B_1}{C_1}},\,\,\,\widehat {BCA} = \widehat {{B_1}{C_1}{A_1}},\,\,\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}{A_1}{C_1}}$. Gọi $H$ và ${H_1}$ theo thứ tự là trực tâm tam giác $ABC$ và ${A_1}{B_1}{C_1}$. CMR $H$ và ${H_1}$ cách đều tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Câu 5: Hãy xác định tất cả các hàm số $f:{N^*} \to {N^*}$ sao cho:
$$f\left( n \right) + f\left( {n + 1} \right) = f\left( {n + 2} \right)f\left( {n + 3} \right) - 22,\,\,\,\forall n \in {N^*}$$
-------------------------Hết------------------------