Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 19-10-2011 - 10:17

Đề bài :




Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $


CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1919 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-08-2015 - 23:34

Đề bài :




Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

$z$ và $\frac{1}{z}$ là $2$ nghiệm của pt $z^2-z+1=0$.Có $2$ TH :

$a)$ $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}$

$b)$ $z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$

Do $z$ và $\frac{1}{z}$ có vai trò như nhau nên chỉ cần xét TH $a$ :

$z=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow z^k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}$ 

$\frac{1}{z}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{1}{z^k}=\cos\frac{k\pi}{3}-i\sin\frac{k\pi}{3}$

Từ đó suy ra : $S=2\left ( \cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+...+\cos\frac{n\pi}{3} \right )$

Đặt $T_n=\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+...+\cos\frac{n\pi}{3}$, ta nhận xét :

$T_1=\frac{1}{2};T_2=0;T_3=-1;T_4=-\frac{3}{2};T_5=-1;T_6=0$ và $T_{6k+m}=T_m$ ($k\in \mathbb{N};m\in \mathbb{N}^*;1\leqslant m\leqslant 6$)

Vậy :

+ $S=1$ nếu $n=6k+1$

+ $S=0$ nếu $n=6k+2$ hoặc $n=6k+6$

+ $S=-2$ nếu $n=6k+3$ hoặc $n=6k+5$

+ $S=-3$ nếu $n=6k+4$

    ($k\in \mathbb{N}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 17-08-2015 - 23:41

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 18-08-2015 - 07:57

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

Đặt $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\implies z+\frac 1z=\frac{(r^3+1)\cos x+(r^3-1)\sin x}{r^2}=1\iff r^3-1=0\iff r=1$

Vì $\cos $ đối và có chu kỳ $2\pi$ nên ta chọn $\varphi=\frac\pi3$.

Ta có: $z^n+\frac1{z^n}=2\cos \frac{n\pi}{3}$ do đó:

$S=2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right)\\\iff\frac{\sqrt3}2\cdot S=\sin\frac\pi3\cdot 2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right) \\\iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = \sin\frac{2\pi}3+\sin\frac{3\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{4\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}3+\cdots+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-\sin\frac{(n-1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\sin\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{n\pi}{3}+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\sin\frac{(2n+1)\pi}{6}\\ \iff S=-1+2 \sin\frac{(2n+1)\pi}{6}$

Vẽ đường tròn lượng giác, ta có:

  • $n=6k, (k\in \mathbb{N}, n\neq 0)\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+1)\pi}{6}=-1+2\sin\frac{\pi}{6}=0$
  • $n=6k+1\implies S=-1+2 \sin\frac{(12k+3)\pi}{6}=1$
  • $n=6k+2\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+5)\pi}{6}=0$
  • $n=6k+3\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+7)\pi}6=-2$
  • $n=6k+4\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+9)\pi}6=-3$
  • $n=6k+5\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+11)\pi}6=-2.\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 21-08-2015 - 14:48


#4 nguyentienmanhlc

nguyentienmanhlc

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 21-08-2015 - 11:52

 

Đặt $z=\cos\varphi+i\sin\varphi\implies z+\frac 1z=2\cos\varphi=1$

Vì $\cos $ đối và có chu kỳ $2\pi$ nên ta chọn $\varphi=\frac\pi3$.

Ta có: $z^n+\frac1{z^n}=2\cos \frac{n\pi}{3}$ do đó:

$S=2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right)\\\iff\frac{\sqrt3}2\cdot S=\sin\frac\pi3\cdot 2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right) \\\iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = \sin\frac{2\pi}3+\sin\frac{3\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{4\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}3+\cdots+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-\sin\frac{(n-1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\sin\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{n\pi}{3}+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\sin\frac{(2n+1)\pi}{6}\\ \iff S=-1+2 \sin\frac{(2n+1)\pi}{6}$

Vẽ đường tròn lượng giác, ta có:

  • $n=6k, (k\in \mathbb{N}, n\neq 0)\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+1)\pi}{6}=-1+2\sin\frac{\pi}{6}=0$
  • $n=6k+1\implies S=-1+2 \sin\frac{(12k+3)\pi}{6}=1$
  • $n=6k+2\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+5)\pi}{6}=0$
  • $n=6k+3\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+7)\pi}6=-2$
  • $n=6k+4\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+9)\pi}6=-3$
  • $n=6k+5\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+11)\pi}6=-2.\blacksquare$

 

LZuTao muốn đặt z$z = cos\varphi +i.sin\varphi$ thì phải chi ra |z| = 1



#5 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 30-01-2016 - 02:01

Đề bài :




Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

Từ $z+\frac{1}{z}=1$ suy ra với mọi $k$ tự nhiên ta đều có:

*$z^{k+2}-z^{k+1}=-z^k$

*$\frac{1}{z^{k+2}}-\frac{1}{z^{k+1}}=-\frac{1}{z^k}$

Đặt $a_k=z^k+\frac{1}{z^k}$ suy ra $a_{k+2}-a_{k+1}=-a_k$

Như vậy $S=\sum a_k=-a_{n+2}+a_2$ (1).

Chú ý rằng từ tính truy hồi ở trên rút ra $a_{k+3}=a_{k+2}-a_{k+1}=(a_{k+1}-a_{k})-a_{k+1}=-a_k$ (2).

Từ (1), (2) suy ra $S=-1-{(-1)}^{q}.a_p$ với $p$ là số dư của $n+2$ khi chia cho 3 và $q$ là thương của phép chia. 

Chẳng hạn $n=6m+4$ suy ra $p=0$ và $q$ chẵn, suy ra $S=-1-a_0=-3$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 30-01-2016 - 02:09





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh