Chủ đề này có 4 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Đề bài :

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

[chanhquocnghiem]

Đề bài :

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

$z$ và $\frac{1}{z}$ là $2$ nghiệm của pt $z^2-z+1=0$.Có $2$ TH :

$a)$ $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}$

$b)$ $z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$

Do $z$ và $\frac{1}{z}$ có vai trò như nhau nên chỉ cần xét TH $a$ :

$z=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow z^k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}$ 

$\frac{1}{z}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{1}{z^k}=\cos\frac{k\pi}{3}-i\sin\frac{k\pi}{3}$

Từ đó suy ra : $S=2\left ( \cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+...+\cos\frac{n\pi}{3} \right )$

Đặt $T_n=\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+...+\cos\frac{n\pi}{3}$, ta nhận xét :

$T_1=\frac{1}{2};T_2=0;T_3=-1;T_4=-\frac{3}{2};T_5=-1;T_6=0$ và $T_{6k+m}=T_m$ ($k\in \mathbb{N};m\in \mathbb{N}^*;1\leqslant m\leqslant 6$)

Vậy :

+ $S=1$ nếu $n=6k+1$

+ $S=0$ nếu $n=6k+2$ hoặc $n=6k+6$

+ $S=-2$ nếu $n=6k+3$ hoặc $n=6k+5$

+ $S=-3$ nếu $n=6k+4$

    ($k\in \mathbb{N}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 17-08-2015 - 23:41

[LzuTao]

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

Đặt $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\implies z+\frac 1z=\frac{(r^3+1)\cos x+(r^3-1)\sin x}{r^2}=1\iff r^3-1=0\iff r=1$

Vì $\cos $ đối và có chu kỳ $2\pi$ nên ta chọn $\varphi=\frac\pi3$.

Ta có: $z^n+\frac1{z^n}=2\cos \frac{n\pi}{3}$ do đó:

$S=2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right)\\\iff\frac{\sqrt3}2\cdot S=\sin\frac\pi3\cdot 2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right) \\\iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = \sin\frac{2\pi}3+\sin\frac{3\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{4\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}3+\cdots+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-\sin\frac{(n-1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\sin\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{n\pi}{3}+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\sin\frac{(2n+1)\pi}{6}\\ \iff S=-1+2 \sin\frac{(2n+1)\pi}{6}$

Vẽ đường tròn lượng giác, ta có:

• $n=6k, (k\in \mathbb{N}, n\neq 0)\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+1)\pi}{6}=-1+2\sin\frac{\pi}{6}=0$
• $n=6k+1\implies S=-1+2 \sin\frac{(12k+3)\pi}{6}=1$
• $n=6k+2\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+5)\pi}{6}=0$
• $n=6k+3\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+7)\pi}6=-2$
• $n=6k+4\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+9)\pi}6=-3$
• $n=6k+5\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+11)\pi}6=-2.\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 21-08-2015 - 14:48

[nguyentienmanhlc]

 

Đặt $z=\cos\varphi+i\sin\varphi\implies z+\frac 1z=2\cos\varphi=1$

Vì $\cos $ đối và có chu kỳ $2\pi$ nên ta chọn $\varphi=\frac\pi3$.

Ta có: $z^n+\frac1{z^n}=2\cos \frac{n\pi}{3}$ do đó:

$S=2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right)\\\iff\frac{\sqrt3}2\cdot S=\sin\frac\pi3\cdot 2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right) \\\iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = \sin\frac{2\pi}3+\sin\frac{3\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{4\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}3+\cdots+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-\sin\frac{(n-1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\sin\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{n\pi}{3}+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S  = -\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\sin\frac{(2n+1)\pi}{6}\\ \iff S=-1+2 \sin\frac{(2n+1)\pi}{6}$

Vẽ đường tròn lượng giác, ta có:

• $n=6k, (k\in \mathbb{N}, n\neq 0)\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+1)\pi}{6}=-1+2\sin\frac{\pi}{6}=0$
• $n=6k+1\implies S=-1+2 \sin\frac{(12k+3)\pi}{6}=1$
• $n=6k+2\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+5)\pi}{6}=0$
• $n=6k+3\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+7)\pi}6=-2$
• $n=6k+4\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+9)\pi}6=-3$
• $n=6k+5\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+11)\pi}6=-2.\blacksquare$

 

LZuTao muốn đặt z$z = cos\varphi +i.sin\varphi$ thì phải chi ra |z| = 1

[HeilHitler]

Đề bài :

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

Từ $z+\frac{1}{z}=1$ suy ra với mọi $k$ tự nhiên ta đều có:

*$z^{k+2}-z^{k+1}=-z^k$

*$\frac{1}{z^{k+2}}-\frac{1}{z^{k+1}}=-\frac{1}{z^k}$

Đặt $a_k=z^k+\frac{1}{z^k}$ suy ra $a_{k+2}-a_{k+1}=-a_k$

Như vậy $S=\sum a_k=-a_{n+2}+a_2$ (1).

Chú ý rằng từ tính truy hồi ở trên rút ra $a_{k+3}=a_{k+2}-a_{k+1}=(a_{k+1}-a_{k})-a_{k+1}=-a_k$ (2).

Từ (1), (2) suy ra $S=-1-{(-1)}^{q}.a_p$ với $p$ là số dư của $n+2$ khi chia cho 3 và $q$ là thương của phép chia. 

Chẳng hạn $n=6m+4$ suy ra $p=0$ và $q$ chẵn, suy ra $S=-1-a_0=-3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 30-01-2016 - 02:09