Cho a,b,c > 0 va a+b+c=3 Tim GTNN cua:\[
A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}
\]
Tìm min
Bắt đầu bởi kingsaha, 19-10-2011 - 17:52
#1
Đã gửi 19-10-2011 - 17:52
#2
Đã gửi 19-10-2011 - 18:18
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:Cho a,b,c > 0 va a+b+c=3 Tim GTNN cua:\[
A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}
\]
$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\sqrt{3(ab+bc+ca)}\leq a+b+c=3$
$A=\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}=\dfrac{a^{2}}{a\sqrt{b}}+\dfrac{b^{2}}{b\sqrt{c}}+\dfrac{c^{2}}{c\sqrt{a}}\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\geq \dfrac{3^{2}}{3}=3$
Vậy Min A=3 khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 19-10-2011 - 18:21
- perfectstrong yêu thích
#3
Đã gửi 20-10-2011 - 15:41
Cách khác đây:
Ta có $ab + bc + ca \le \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{3} = 3$
$\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{a}{{\sqrt b }} + ab \ge 3a$ (BĐT Cô-si)
Tương tự $ \Rightarrow 2(\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}) \ge 9 - ab - bc - ca \ge 6$ (dpcm)
Ta có $ab + bc + ca \le \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{3} = 3$
$\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{a}{{\sqrt b }} + ab \ge 3a$ (BĐT Cô-si)
Tương tự $ \Rightarrow 2(\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}) \ge 9 - ab - bc - ca \ge 6$ (dpcm)
- perfectstrong yêu thích
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh