Đến nội dung

Hình ảnh

Kì thi chọn học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Môn Thi: Toán

Thời gian làm bài : 180 phút

________________________________

Vòng 1.

Bài 1. Giải hệ phương trình sau




$$\begin{cases}& 2+6y=\dfrac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\\ &\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2\end{cases}$$

Bài 2. Cho $f: \mathbb N^*\to\mathbb N^*$ thỏa mãn các điều kiện sau
$$\begin{cases} & f(1)=1\\ & f(n)=n-f(f(n-1)) \forall n\geq 2\end{cases}$$
Hãy chứng minh rằng :

$f(2012)=f(2011)$ hoặc $f(2012)=f(2011)+1$




Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng

$$4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 1$$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ không cân có $BC=a,CA=b,AB=c$. Giả sử $AA_1,BB_1,CC_1$ là các đường phân giác trong của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng nếu $A_1B_1=A_1C_1$ thì
$$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c}$$

Bài 5. Tìm các hoán vị $p$ của tập $\left \{ 1,2,...,2011 \right \}$ thỏa mãn $|p(1)-1|+|p(2)-2|+...+|p(2011)-2011|=\dfrac{2011^2-1}{2}$

Vòng 2




Bài 1
Giải hệ phương trình :
$$\begin{cases} & x^3+3xy^2=6xy-3x-49 \\ & x^2-8xy+y^2=10y-25-9 \end{cases}$$

Bài 2. Tìm tất cả các dãy số tự nhiên ${a_n}$ bị chặn thỏa mãn
$$a_{n+1}=\dfrac{a_n+a_{n-1}}{\gcd(a_n,a_{n-1})}$$

Bài 3. Cho lục giác lồi $ABCDEF$ có $\angle B + \angle D +\angle F = 360^o$ và $\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{CD}{DE}.\dfrac{EF}{FA}$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{BC}{CA}.\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{FD}{DB}=1$$


Bài 4. Có $n$ lá thứ và $n$ phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá tứ được cho đúng địa chỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-10-2011 - 20:07

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Mình thấy bài 3 vòng 1 khá quen thuộc. Có nhiều cách giải, đơn giản nhất là biến đổi tương đương, cm:
VT lớn hơn hoặc bằng (a+b+c)3
(Cuối cùng ra bất dẳng thức Schur với n=1)
Đây là đề lớp mấy? dành cho cả thành phố hay khối không chuyên?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-02-2012 - 18:43

tungk45csp




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh