Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn: $$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$

Cũ.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-10-2011 - 16:16

1) Cho $P(x);Q(x)$ là các đa thức hệ số thực và dãy số $\{a_n \}:a_n=n!+n$.Chứng minh rằng:Nếu biểu thức $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ là 1 số nguyên vối mọi $n$ thì thương $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ cũng là 1 số nguyên vối mọi $n$ thỏa mãn:$Q(n) \neq 0$.

2) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn:
$$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-07-2013 - 14:49


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 20-09-2013 - 20:25


#3 gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An

Đã gửi 31-07-2013 - 00:42

Chứng minh của Sally trên sai ở ngay bước chứng minh hệ số $a_n$ dẫn đến kết luân nghiêm sai.

Dạng này có thể sử dụng số phức.

Dễ thấy nếu đa thức $x_0 \in R$ thì $P(x)$ cũng có nghiệm $x_0^2$ và $(x_0-2)^2$. Do vây nếu $\left | x_0 \right |\neq 1$ thì đa thức $P(x)$ có vô hạn nghiệm.

(Do nếu ngược lai thì $P(x)$ có các nghiệm $1<x_0<x_0^2<x_0^4<...$ hoặc $1>x_0>x_0^2>x_0^4>...>0$ đôi một phân biệt ,vô lí)

Suy ra $\left | x_0 \right |=1$ và $x_0=1$ (nếu $x_0=-1$ thì $P(x)$ có nghiệm $(x_0-2)^2=9>1$ vô lí) hay $P(x)=(x-1)^k.Q(x)$ với $Q(x)$ là đa thức hệ số thực không có nghiệm thực.

Dễ thấy thay vào phương trình $P(x)$ suy ra $Q(x)Q(x+2)=Q(x^2)$.  (1)

Giả sử $Q(x)$ có các nghiệm phức $\alpha _k=a_k+i.b_k$.Dễ thấy $\left |\alpha _k  \right |=1$ vì nếu ngược lại thì $Q(x)$ cũng có vô hạn nghiệm phức, vô lí.

Do đó $a_k^2+b_k^2=1$ (suy ra $a_k,b_k <1$, mặt khác theo (1) ta có Q(x) cũng có nghiệm $(\alpha _k -2)^2$.

Mà $\left |(\alpha _k -2)^2  \right |=(a_k-2)^2+b_k^2>1$ do $a_k<1 \Rightarrow  (a_k-2)^2>1$, vô lí vì mọi nghiệm của $Q(x)$ đều có modun là 1.

Suy ra $Q(x)=c$ hay $P(x)=c.(x-1)^k$, thay vào phương trình dễ thấy $c=0$ hoặc $c=1$.

Kết luận $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^k$ (k là số tự nhiên bất kì)


LKN-LLT


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-08-2013 - 17:18

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 01/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh