Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn: $$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$

- - - - - Cũ.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

1) Cho $P(x);Q(x)$ là các đa thức hệ số thực và dãy số $\{a_n \}:a_n=n!+n$.Chứng minh rằng:Nếu biểu thức $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ là 1 số nguyên vối mọi $n$ thì thương $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ cũng là 1 số nguyên vối mọi $n$ thỏa mãn:$Q(n) \neq 0$.

2) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn:
$$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 20-09-2013 - 20:25


#3
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Chứng minh của Sally trên sai ở ngay bước chứng minh hệ số $a_n$ dẫn đến kết luân nghiêm sai.

Dạng này có thể sử dụng số phức.

Dễ thấy nếu đa thức $x_0 \in R$ thì $P(x)$ cũng có nghiệm $x_0^2$ và $(x_0-2)^2$. Do vây nếu $\left | x_0 \right |\neq 1$ thì đa thức $P(x)$ có vô hạn nghiệm.

(Do nếu ngược lai thì $P(x)$ có các nghiệm $1<x_0<x_0^2<x_0^4<...$ hoặc $1>x_0>x_0^2>x_0^4>...>0$ đôi một phân biệt ,vô lí)

Suy ra $\left | x_0 \right |=1$ và $x_0=1$ (nếu $x_0=-1$ thì $P(x)$ có nghiệm $(x_0-2)^2=9>1$ vô lí) hay $P(x)=(x-1)^k.Q(x)$ với $Q(x)$ là đa thức hệ số thực không có nghiệm thực.

Dễ thấy thay vào phương trình $P(x)$ suy ra $Q(x)Q(x+2)=Q(x^2)$.  (1)

Giả sử $Q(x)$ có các nghiệm phức $\alpha _k=a_k+i.b_k$.Dễ thấy $\left |\alpha _k  \right |=1$ vì nếu ngược lại thì $Q(x)$ cũng có vô hạn nghiệm phức, vô lí.

Do đó $a_k^2+b_k^2=1$ (suy ra $a_k,b_k <1$, mặt khác theo (1) ta có Q(x) cũng có nghiệm $(\alpha _k -2)^2$.

Mà $\left |(\alpha _k -2)^2  \right |=(a_k-2)^2+b_k^2>1$ do $a_k<1 \Rightarrow  (a_k-2)^2>1$, vô lí vì mọi nghiệm của $Q(x)$ đều có modun là 1.

Suy ra $Q(x)=c$ hay $P(x)=c.(x-1)^k$, thay vào phương trình dễ thấy $c=0$ hoặc $c=1$.

Kết luận $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^k$ (k là số tự nhiên bất kì)


LKN-LLT


#4
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 01/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh