Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:39
title fixed

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$

Sửa lại đề là $n \in \mathbb{N}$ và $n> 1$

-------------------------------------------------------

Trước hết, ta cần chứng minh $e< \left (\frac{k+1}{k} \right )^{k+\frac{1}{2}}$ (1) (với mọi $k \in \mathbb{N^*}$)

Xét hàm $f(x)=\ln \left (\frac{x+1}{x} \right )-\frac{2}{2x+1}$ trên $\left [1;+\infty \right )$.

$f(x)$ liên tục trên $\left [1;+\infty \right )$ và ta có :

$f'(x)=\frac{-1}{x(x+1)(2x+1)^2}< 0$ với mọi $x \in \left [1;+\infty \right )$

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$

$\Rightarrow f(x)> 0$ với mọi $x \in \left [1;+\infty \right )$

$\Rightarrow \ln \left (\frac{k+1}{k} \right )> \frac{2}{2k+1}$ với mọi $k \in \mathbb{N^*}$

$\Rightarrow \left (\frac{k+1}{k} \right )^{k+\frac{1}{2}}> e$ hay $e< \left (\frac{k+1}{k} \right )^{k+\frac{1}{2}}$ (1) (với mọi $k \in \mathbb{N^*}$)

Bây giờ trở lại bài toán.

Điều phải chứng minh tương đương với $n!.e^{n-1}< n^{n+\frac{1}{2}}$ (2)

+ Với $n=2$, (2) đúng.

+ Giả sử (2) đúng khi $n=k\geqslant 2 \Rightarrow k!.e^{k-1}< k^{k+\frac{1}{2}}$

   $\Rightarrow (k+1)!.e^{k-1}< (k+1).k^{k+\frac{1}{2}}$ (3)

   Nhân (1) và (3), vế với vế $\Rightarrow (k+1)!.e^k< (k+1)^{k+\frac{3}{2}}$.

   Vậy (2) cũng đúng khi $n=k+1$

+ Theo nguyên lý quy nạp, (2) đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn $1$, tương đương với điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-11-2016 - 19:20