Topic các bộ đề ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
#21
Đã gửi 03-11-2011 - 22:30
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#22
Đã gửi 04-11-2011 - 13:02
Bài 5:
Nhận xét: Bình phương một số nguyên chia 4 có số dư là 0;1 (1) ; chia 5 có số dư 0;1;4.(2)
Xét tất cả các bình phương của 7 bất kì.
Theo nhận xét (2) và theo nguyên lý Dirichle, tồn tại 3 bình phương có cùng số dư khi chia 5.
Giả sử đó là $a^2;b^2;c^2$.
Áp dụng nhận xét (1) và theo nguyên lý Dirichle, trong $a^2;b^2;c^2$ có 2 số chia 4 có cùng số dư.
Giả sử đó là $a^2;b^2$.
Vậy $a^2-b^2 \vdots 4;5 \Rightarrow a^2-b^2 \vdots 20$ (do (4;5)=1)
========================================================
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-11-2011 - 14:17
- Cao Xuân Huy, HÀ QUỐC ĐẠT, ducthinh26032011 và 1 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#23
Đã gửi 04-11-2011 - 13:06
$\sqrt {{x^2} + 5x + 13} + \sqrt {{x^2} + 5x - 11} = 12$
Đặt $a=\sqrt {{x^2} + 5x + 13}$; $b=\sqrt {{x^2} + 5x - 11}$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}a+b=12 \\ a^2-b^2=24 \end{array} \right.$
Giải phương trình trên ta được a=7; b=5
Khi đó (1) $x^2+5x+13=49$
$\Rightarrow (-4+x) (9+x)=0$
$\Rightarrow x=4; x=-9$
(2) $x^2+5x-11=25$
$\Rightarrow (x-4)(x+9)=0$
$ \Rightarrow x = 4;x = - 9$
Vậy $x \in \left\{ {4; - 9} \right\}$.
---------------------------------------------
MoD: Em chú ý dấu suy ra là \Rightarrow và dấu tương đương là \Leftrightarrow nhé. Đừng gõ => và <=>.
-----------------------------------------
C.X.H: Một số lỗi $\LaTeX$ nho nhỏ, mình đã sửa cho rồi. Đối với bài này thì bạn chỉ cần xét một trường hợp a=7 hoặc b=5 thôi vì đã có điều kiện $a^2 - b^2 = 24 $ rồi mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 15-11-2011 - 22:32
- perfectstrong, Yagami Raito, Cao Xuân Huy và 1 người khác yêu thích
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
#24
Đã gửi 13-11-2011 - 17:00
Bài 2.b: Các bạn hãy gom các biểu thức dưới dấu căn và vế phải theo các hằng đẳng thức$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$. Từ đó bạn suy ra $VT \ge 4$ và $VP \le 4$. Đến đây ta dễ dàng có nghiệm.
Bài 3: Các bạn khai triển ra và coi đây là 1 pt bậc hai theo a. Từ đó lập $\Delta$ với điều kiện $\Delta \ge 0$. Từ đó suy ra min và max của $x$. Thế vào pt tìm ra a.
Bài 4:
1.Kẻ $IN \bot OA$ tại N.
Bạn dễ dàng có $\triangle OIK$ đồng dạng $\triangle OBM$ rồi suy ra. $OI.OM=OK.OB= \dfrac{R^2}{2}$
Ta cũng có $\triangle OIN$ đồng dạng $\triangle OAM$ suy ra $ON.OA=OI.OM \Rightarrow ON={R}{6}$.
2. Ta chứng minh giao của các tiếp tuyến chính là giao của OM với (I). Ta suy ra được IN là đường trung bình của $\triangle OKH$ suy ra $OH=2.ON= \dfrac{R}{3}$.
3. Dựa trên câu 2 ta có quỹ tích của K.
Bài 6: $hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y + 1) = 6\\{(x + 1)^3} + {(y + 1)^3} = 35\end{array} \right.$
Đến đây đặt các ẩn phụ $a=x+1$; $b=y+1$ rồi giải tiếp một hpt đối xứng loại I.
- perfectstrong, Ispectorgadget, Yagami Raito và 5 người khác yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#25
Đã gửi 24-11-2011 - 17:18
Hôm nay mình cũng rảnh rỗi nên post tiếp đề.
BỘ ĐỀ SỐ 4
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $({x^2} - y)(x - 2y + 1) = (x - 1){(x - y)^2}$
Bài 2: Cho phương trình: ${x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm nguyên.
Bài 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}xy = x + y - z\\yz = 3(y - x + z)\\zx = 2(x - y + z)\end{array} \right.$
Bài 4: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của:
\[F = {\left( {a + \dfrac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {b + \dfrac{1}{c}} \right)^2} + {\left( {c + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\]
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt AC ở D và AB ở E. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tròn tại D và E đồng qui với trung tuyến AI của của $\triangle ABC$
Bài 6: Cho phương trình $(m^2+m+1)x^2 - (m^2+2m+2).x-1=0$. Tìm min và max của $S=x_1+x_2$
Bài 7: Cho hàm số: $y = f(x) = \dfrac{{2{x^3} + 6{x^2} - 2x - 6}}{{3{x^2} - 3}}$. Viết các phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;0) và không có điểm chung với đồ thị hàm số $y=f(x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 21-12-2011 - 16:28
- Ispectorgadget, MIM và Poseidont thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#26
Đã gửi 24-11-2011 - 23:28
BỘ ĐỀ SỐ 4
\[F = {\left( {a + \dfrac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {b + \dfrac{1}{c}} \right)^2} + {\left( {c + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\]
Tưởng dẹp tiệm rồi chứ
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có: $x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$ dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Áp dụng ta có F$\geq \dfrac{(a+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1}{c}+c+\dfrac{1}{a})^2}{3}\geq \dfrac{6^2}{3}=\dfrac{36}{3}=12$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 25-11-2011 - 15:59
- hoa_giot_tuyet, Minhnguyenquang75, Yagami Raito và 3 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#27
Đã gửi 26-11-2011 - 14:12
BỘ ĐỀ SỐ 4
Bài 6: Cho phương trình $(m^2+m+1)x^2 - (m^2+2m+2).x-1=0$ . Tìm min và max của $S=x_1+x_2$
Điều kiện $\Delta \geq 0$ Cái này dễ các bạn tự lấy nhé
Với điều kiện trên áp dụng định lý Viet cho
S =$x_{1}+x_{2}=\dfrac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}$
$\Leftrightarrow m^2S+mS+S=m^2+2m+2\Leftrightarrow Sm^2+Sm+S-m^2-2m-2=0$
$\Leftrightarrow m^2(S-1)+m(S-2)+S-2=0$
Xét S-1=0$\Leftrightarrow S=1$ thay vào tìm được m=-1
Xét S khác 1 ta có: $\Delta =S^2-4S+4-4(S-2)(S-1)=S^2-4S+4-4(S^2-3S+2)=-3S^2+8S-4$
Vì S tồn tại nên phương trình luôn có nghiệm $\Rightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow -3S^2+8S-4\geq 0$$\Rightarrow 2\geq S\geq \dfrac{2}{3}$
Max S=2 khí đó m=2
Min S=$\dfrac{2}{3}$ khi đó m=-2
---------------------------------
Lời giải ban đầu hình như bị sai Huy kiểm tra lại dùm
P/s: Trong quá trình giải có thể có sai sót các bạn kiểm tra lại dùm
Mà sao toàn thấy học sinh cấp 3 giải bài vậy . Các bạn lớp 9 sao không tham gia đi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 26-11-2011 - 18:41
- Minhnguyenquang75, Yagami Raito, Cao Xuân Huy và 4 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#28
Đã gửi 26-11-2011 - 17:21
BỘ ĐỀ SỐ 4
Bài 6: Cho phương trình $(m^2+m+1)x^2 - (m^2+2m+2).x-1=0$ . Tìm min và max của $S=x_1+x_2$
Điều kiện $\Delta \geq 0$ Cái này dễ các bạn tự lấy nhé
Chỗ này ta có $ac=-1<0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.
------------------------------------
Các bạn lớp 9 đâu rồi. Vào cùng tham gia giải đề đi chứ
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#29
Đã gửi 02-12-2011 - 22:53
BỘ ĐỀ SỐ 4
Bài 2: Cho phương trình: ${x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm nguyên.
$\Delta '=(m-1)^2-2m+6=m^2-2m+1-2m+6=m^2-2m+7=(m-2)^2+3$
Để phương trình có nghiệm nguyên Delta phải là 1 số chính phương
Đặt $(m-2)^2+3=k^2$ $\Leftrightarrow (m-2)^2-k^2=-3\Leftrightarrow (m-2-k)(m-2+k)=-1.-3=-3.1$
Lại có : m-2+k > m-2-k
\[
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 - k = - 1 \\
m - 2 + k = 3 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 - k = 1 \\
m - 2 + k = - 3 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m = 3 \\
k = 2 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
m = 1 \\
k = - 2 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.
\]
- Cao Xuân Huy, MIM, Mai Duc Khai và 1 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#30
Đã gửi 03-12-2011 - 16:28
Xét $x=y=z=0$ là một nghiệm của hệ.
Với $x,y,z\neq 0$, hệ đã cho tương đương với :
$$\left\{\begin{matrix} 6xy=6(x+y-z)(1) & & \\ 2yz=6(y-x+z) (2)& & \\ 3zx=6(x-y+z) (3)& & \end{matrix}\right.$$
Lấy $(1)+(2), \ (2)+(3), \ (3)+(1)$ theo vế ta được
$$\left\{\begin{matrix}3xy+yz=6y & & \\ 2yz+3zx=12z & & \\ 2xy+zx=4x & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x+z=6 & & \\ 2y+3x=12 & & \\ 2y+z=4 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{7}{3} & & \\ y=2,5 & & \\ z=-1 & & \end{matrix}\right.$$
- Yagami Raito, Cao Xuân Huy, Dung Dang Do và 4 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#31
Đã gửi 03-12-2011 - 16:32
Toàn giải thiếu 2 nghiệm rồi.Bài 3.
Xét $x=y=z=0$ là một nghiệm của hệ.
Với $x,y,z\neq 0$, hệ đã cho tương đương với :
$$\left\{\begin{matrix} 6xy=6(x+y-z)(1) & & \\ 2yz=6(y-x+z) (2)& & \\ 3zx=6(x-y+z) (3)& & \end{matrix}\right.$$
Lấy $(1)+(2), \ (2)+(3), \ (3)+(1)$ theo vế ta được
$$\left\{\begin{matrix}3xy+yz=6y & & \\ 2yz+3zx=12z & & \\ 2xy+zx=4x & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x+z=6 & & \\ 2y+3x=12 & & \\ 2y+z=4 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{7}{3} & & \\ y=2,5 & & \\ z=-1 & & \end{matrix}\right.$$
Em giải trong trường hợp cả 3 biến khác 0 chứ em chưa xét đến trường hợp từng biến khác 0.
Bài này ra 5 nghiệm
- Zaraki, Yagami Raito, Poseidont và 2 người khác yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#32
Đã gửi 08-12-2011 - 19:50
Hôm nay mình cũng rảnh rỗi nên post tiếp đề.
BỘ ĐỀ SỐ 4Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $({x^2} - y)(x - 2y + 1) = (x - 1){(x - y)^2}$
phương trình tương đương:
2x2y+xy2-2x2+3y-3y2-xy=0
$\Leftrightarrow (2x^2+xy-3y)(y-1)=0 \Leftrightarrow y=1 và x=1$
- Cao Xuân Huy và yeutoan11 thích
and
proooooooooooooooooooooooooooooooooooo
DAM ME TOAN HET SUC
#33
Đã gửi 08-12-2011 - 22:28
Bạn giải sai rồi.phương trình tương đương:
2x2y+xy2-2x2+3y-3y2-xy=0
$\Leftrightarrow (2x^2+xy-3y)(y-1)=0 \Leftrightarrow y=1 và x=1$
Bài này khai triển hết ra rồi ta có một pt bậc 2 theo $x$. Từ đó lập $\Delta$ giải ra 5 nghiệm
- Poseidont yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#34
Đã gửi 12-12-2011 - 20:59
and
proooooooooooooooooooooooooooooooooooo
DAM ME TOAN HET SUC
#35
Đã gửi 12-12-2011 - 21:48
Bài 5:
Gọi F là trung điểm của AH. Đặt FH=R.
Vẽ G là giao điểm 2 tiếp tuyến của (F;R). AG cắt BC tại I. Ta sẽ chứng minh I là trung điểm BC.
Gọi J là giao điểm của AG với (F) ($J \neq A$). K là giao điểm của ED và JA.
Sử dụng định lý hàm số sin, ta có:
\[\dfrac{{\sin BAI}}{{\sin CAI}} = \dfrac{{\dfrac{{EJ}}{{2R}}}}{{\dfrac{{DJ}}{{2R}}}} = \dfrac{{JE}}{{JD}}\]
Theo tính chất của tứ giác "đẹp" (có thể dễ chứng minh), ta có:
\[\dfrac{{JE}}{{JD}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}\]
Mà lại có:
\[\vartriangle AED \sim \vartriangle ACB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{\sin BAI}}{{\sin CAI}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\]
Ta có:
\[\dfrac{{{S_{BAI}}}}{{{S_{CAI}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AB.AI.\sin BAI}}{{\dfrac{1}{2}AC.AI.\sin CAI}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}.\dfrac{{AC}}{{AB}} = 1 = \dfrac{{BI}}{{CI}}\]
Vậy ta có đpcm.
- Ispectorgadget, taitwkj3u, Cao Xuân Huy và 2 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#36
Đã gửi 12-12-2011 - 22:56
Bài 5:
Gọi B' là giao điểm của DH với AB; C' là giao điểm của EH với AC.
Ta chứng minh được H là trực tâm của $\triangle AB'C' \Rightarrow AH \bot B'C'$
Do đó $BC//B'C'$.
Gọi K là trung điểm của B'C'.
Ta sẽ chứng minh tiếp tuyến tại D và E của đường tròn đường kính AH và trung trực AI của $\triangle ABC$ đi qua K.
Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại E của đường tròn đường kính AH với BC.
Ta có: $\widehat{MHE}=\widehat{MEH}$ (vì cùng bằng $\widehat{BAH}$)
Suy ra ME=MH và $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$ (cùng phụ với 2 góc bằng nhau) nên ME=MB
Vì vậy M là trung điểm BH.
Gọi K' là giao của EM với B'C'. Bằng định lí Thales ta dễ dàng chứng minh K' là trung điểm B'C'.
Suy ra K trùng với K'.
Do đó tiếp tuyến tại E của đtròn đường kính AH đi qua K.
Tương tự tiếp tuyến tại D của đường tròn đường kính AH đi qua K.
Bằng định lí Thales ta cũng dễ dàng có trung tuyến AI của $\triangle ABC$ đi qua K.
Vậy các tiếp tuyến tại D và E của đường tròn đường kính AH và trung tuyến tại điểm A của tam giác ABC đồng qui tại K.
- hoa_giot_tuyet, perfectstrong, Yagami Raito và 4 người khác yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#37
Đã gửi 23-12-2011 - 17:14
Ta chia ra 3 TH:
TH1: đường thẳng đó song song với f(x) thì ta có a=a'=$\huge \dfrac{2}{3}$
b=y-ax= 0-$\dfrac{2}{3}$=-$\dfrac{2}{3}$
Vậy (d'):y=$\dfrac{2}{3}$x-$\dfrac{2}{3}$
TH2: đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ (1;....) vì thay x=1 vào (d) ko xác định
Thay x=1 vào y=$\dfrac{2}{3}$x+2 ta đc y=$\dfrac{2}{3}$+2=$\dfrac{8}{3}$
(d) ko đi qua điểm có tọa độ (1;$\dfrac{8}{3}$).
Ta thấy với các y khác nhau thì x=1.Vậy đường thẳng đó có dạng x=a=1
TH3:đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ(-1;....)
Tượng tự ta có y=$\dfrac{4}{3}$
Lần lượt thay (-1;$\dfrac{4}{3}$);(1:0) vào (d''):y=ax+b ta đc:
a+b=0
-a+b=$\dfrac{4}{3}$
suy ra a=-$\dfrac{2}{3}$ và b=$\dfrac{2}{3}$
vậy (d''):y=-$\dfrac{2}{3}$x+$\dfrac{2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 23-12-2011 - 17:17
- Dung Dang Do yêu thích
#38
Đã gửi 05-01-2012 - 11:06
Thích ngủ.
#39
Đã gửi 05-01-2012 - 14:12
Thế này nhé em.Đề 1:
Bài 5:
c) $$\vartriangle AEH \sim \vartriangle FBH(g.g) \Rightarrow HE.HF=HA.HB=HG^2$$
Ta có: $\widehat{HFB}=\widehat{CAB} (=90^o - \widehat{ABC}$
Từ đó suy ra được tam giác AEH đồng dạng với tam giác FBH theo trường hợp góc góc.
_____________________________________________________
P/S: Dạo này lười quá quên mất topic này. Để hôm nào rảnh post đề tiếp
- Dung Dang Do và Doilandan thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh