Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic các bộ đề ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 90 trả lời

#1 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 25-10-2011 - 16:14

Chào các bạn, để giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập và bồi dưỡng Toán 9 nhằm phục vụ cho các kì thi học sinh giỏi và các kì thi tuyển sinh vào các trường chuyên thì hôm nay mình mở một topic về các bộ đề ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9. Mỗi tuần mình sẽ cố gắng post lên 1 bộ đề có 6 hoặc 7 bài và tập hợp lời giải các bạn để làm thành một tài liệu. Mình mong các bạn tham gia sôi nổi để tránh tình trạng topic rơi vào quên lãng.

Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đói không dùng ngôn ngữ chat.
- Viết rõ ràng bằng $\LaTeX$ ( nếu không viết được có thể nhờ Mod sửa hộ nhưng phải đầy đủ thông tin). Không để font, size, màu quá lớn. Hạn chế tải thêm các hình ảnh không liên quan.
- Không SPAM.
- Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Lo-gic và Kết quả. tránh tình trạng bỏ dở.
Hôm nay mình post bộ đề đầu tiên không khó lắm để mở đầu và ôn luyện kiến thức cơ bản.

BỘ ĐỀ SỐ 1



Bài 1:
1. Rút gọn: $A = \dfrac{{x - 14 + 2\sqrt {x + 1} }}{{x + 1 - 3\sqrt {x + 1} }}$
2. Giải phương trình: $(x^2 - 2x - 15)\sqrt {16 - x^2 } = 0$

Bài 2: Cho pt ẩn x: $x^2 - (m + 2)x + m^2 + 1 = 0$
1. Giải pt khi $m=1$
2. Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm $x_1 ,x_2 $ thỏa mãn $\left| {x_2 - x_1 } \right| = 1$

Bài 3:
1. Tìm GTNN, GTLN của: $A = \sqrt {x - 1} + \sqrt {13 - x} $
2. Tìm GTLN của: $B = \sqrt {4a + 3} + \sqrt {4b + 3} + \sqrt {4c + 3} $ khi $a+b+c=4$

Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD và AB<CD. Biết $\angle C + \angle D = 90^o $ và $AD=5;BC=12$
1. Tính $\angle C$; $\angle D$
2.Cho thêm $CD=26$. Tính $S_{ABCD} $

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, G là một điểm thuộc nửa đường tròn và khác A, B. Vẽ $GH \bot AB;H \in AB$. Trên đoạn GH lấy điểm E, các tia AE và BE cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D tương ứng, BC và AD cắt nhau tại F. Chứng minh:
1. Bốn điểm E, C, F, D cùng thuộc một đường tròn.
2. Bốn điểm H, E, G, F thẳng hàng.
3. E là trung điểm GH khi và chỉ khi G là trung điểm FH.

Bài 6: Giải các hệ phương trình:
1. $\left\{ \begin{array}{l} 3x - \left| y \right| = 1 \\ 5x + 3y = 11 \\ \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \left| {y - 1} \right| = 5 \\ \left| {x + 3} \right| + \left| {y - 1} \right| = 7 \\ \end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 24-11-2011 - 17:00

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-10-2011 - 17:37

Bài 3: Điều kiện$x\geq 1;x\leq 13$
a) Min
Áp dụng BĐT $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$
Dấu "="; xảy ra khi ab=0
Áp dụng ta được$A\geq \sqrt{x-1+13-x}=2\sqrt{3}$
Dấu "="; xảy ra khi x= 1 hoặc x =13
Max
Áp dụng BĐT cauchy-Schwarz
$A^2=(\sqrt{x-1} +\sqrt{13-x})^2 \leq (1+1)(x-1-x+13)=24 \Rightarrow A \leq 2\sqrt{6}$
Dấu "="; xảy ra khi x = 7
Ngoài 2 cách mình nêu trên đây các bạn còn có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm min, max hoặc bình phương 2 vế
b) Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz
$B^2\leq (1+1+1)(4(a+b+c)+9)=75 \Rightarrow B\leq \sqrt{75}=5\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi a= b=c=$\dfrac{4}{3}$

Bạn học định thức cấp 2 chưa nhỉ. Nếu học rồi thì bài 6 này giải quyết rất đơn giản.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 25-10-2011 - 20:05

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 25-10-2011 - 20:09

Mình chưa học định thức cấp 2 bạn ạ. Tất cả những bài mình có trong đề đều có thể giải được bằng kiến thức của THCS.
Bài 3.2 hình như cũng có thể giải ra GTNN đấy, các bạn cố gắng làm thử.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-10-2011 - 21:59

Bạn cho mình biết GTNN của bài toán được không mình làm mà không chắc :D
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-10-2011 - 22:42

Lần sau đừng tải file nhé, cứ đưa đề lên thôi.
Để tránh loãng topic, đề nghị mọi người hãy giải quyết cái đề số 1 (đừng nên đưa nhiều đề 1 lúc, tẩu hỏa nhập ma đó ^_^)
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 26-10-2011 - 13:56

Ở bài 3 câu 2 thì bạn có thể áp dụng bất đẳng thức:$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \ge \sqrt {x + y + z} $
BĐT này có thể dễ dàng chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương.
Đẳng thức xảy ra khi ít nhất 2 trong 3 số bằng 0.
Từ đó ta giải ra $B_{\min } = 5$ khi $a = \dfrac{{ - 3}}{4};b = \dfrac{{ - 3}}{4};c = \dfrac{{22}}{4}$ và các hoán vị của chúng.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#7 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 26-10-2011 - 17:33

Đề 1:
Bài 4:
Hình đã gửi
a)Vẽ DA cắt CB tại E thì $\vartriangle CDE$ vuông tại E.
Vẽ AF//EC, F thuộc đoạn CD. Suy ra $\vartriangle DFA$ vuông tại A và BAFC là hình bình hành.
Nên AF=BC=12.

\[\tan ADF = \dfrac{{FA}}{{DA}} = \dfrac{{12}}{5} \Rightarrow \angle ADF \approx {64^0}22'48.49''\]

\[ \Rightarrow \angle C = \angle AFD \approx {22^0}37'11.51''\]
b)Dễ thấy DF=13 nên F là trung điểm CD. Và AB=FC=13
Hạ đường cao AH. Tính được $AH=\dfrac{60}{13}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=90$

Bài 5:
Hình đã gửi
a) $\angle FDE=\angle FCE=90^o$
b) E là trực tâm $\vartriangle BFA$.
c) $$\vartriangle AEH \sim \vartriangle FBH(g.g) \Rightarrow HE.HF=HA.HB=HG^2$$
$$\Rightarrow \dfrac{HE}{HG}=\dfrac{HG}{HF}$$
E là trung điểm HG
$$\Leftrightarrow \dfrac{HE}{HG}=\dfrac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{HG}{HF}=\dfrac{1}{2}$$
:Leftrightarrow G là trung điểm FH.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 26-10-2011 - 18:42
Bổ sung hình ảnh

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#8 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 28-10-2011 - 16:31

Mọi người cố gắng giải hết đề 1 đi. Giải xong mình sẽ post đề mới

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9 thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 28-10-2011 - 22:34

anh Huy pst thêm nhiều đề nữa nha. Topic này nên hoạt động dài lâu hơn nữa

#10 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 29-10-2011 - 11:06

Thôi, bộ đề số 1 chủ yếu đã giải xong, chỉ còn lại mấy bài dễ thôi. Hôm nay mình sẽ post bộ đề số 2 khó hơn.

Bộ đề số 2




Bài 1: Tìm số tự nhiên $A = \overline {abcd} $ thỏa mãn
1. $\overline {abd} = {(b + d - 2a)^2}$
2. $A+72$ là một số chính phương.

Bài 2: Giải các phương trình:
1. $\sqrt {{x^2} - 6x + 9} + \left| {x + 10} \right| = 12$
2. $3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} = 8$

Bài 3: Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\\x + y + z + xy + xz + yz = 6\end{array} \right.$

Bài 4: Tìm max của:
\[y = \dfrac{{{{({x^2} + x + 1)}^2} + 2}}{{{x^4} + 1 + {{(x + 1)}^4}}}\]

Bài 5: Chứng minh điểm $I(-1;-2)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số:$y = f(x) = \dfrac{{3 - 2x}}{{x + 1}}$


Bài 7: Giải bất phương trình sau:
\[(x - 3)\sqrt {{x^2} - 4} \le {x^2} - 9\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 29-10-2011 - 21:16

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#11 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-10-2011 - 13:45

Bài 3:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\
2(x + y + z) + 2(xy + yz + xz) = 12 \\
\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}
(x + y + z)^2 + 2(x + y + z) = 15 \\
x + y + z + xy + yz + xz = 6 \\
\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x + y + z = 3 \\
x + y + z = - 5 \\
\end{array} \right. \\
x + y + z + xy + yz + xz = 6 \\
\end{array} \right.
\]
=>\[
= > \left[ \begin{array}{l}
xy + yz + xz = 3 \\
xy + yz + xz = 11 \\
\end{array} \right.
\]
\[
< = > \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
2.(xy + yz + xz) = 6 \\
2(xy + yz + xz) = 2 \\
\end{array} \right. \\
x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\
\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}
2(x^2 + y^2 + z^2 ) = 6 \\
\left[ \begin{array}{l}
2.(xy + yz + xz) = 6 \\
2(xy + yz + xz) = 2 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l}
(x - y)^2 + (x - z)^2 + (z - y)^2 = 0(n) \\
(x - y)^2 + (x - z)^2 + (z - y)^2 = 4(l) \\
\end{array} \right. < = > x = y = z
\]

=> x=y=z =1
Bài này mình trình bày không logic cho lắm thông cảm nhé :D
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#12 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 29-10-2011 - 14:19

Bài 1: Tìm số tự nhiên $A = \overline {abcd} $ thỏa mãn
1. $\overline {abd} = {(b + d - 2a)^2}$
2. $A+72$ là một số chính phương.

Vì $a \ge 1, b \le 9, d \le 9$ nên $b+d-2a \le 16$, do đó $(b+d-2a)^2 \le 16^2$. Từ 1 suy ra
$$10^2 \le \overline{abd} \le 16^2 \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
Do $A+72$ là số chính phương nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là một trong các số $\{ 0,1,4,5,6,9 \}$. Vì lẽ đó
$$ d \not\in \{0,1,5,6 \} \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
Từ (1) và (2) suy ra:
$$ \overline{abd} \in \{ 12^2,13^2 \}.$$
  • Nếu $\overline{abd}=12^2=144$ (loại vì $144 \neq (4+4-2)^2$).
  • Nếu $\overline{abd}=13^2=169$ (thỏa mãn).

    Đặt
    $$A+72=n^2 \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$
    Do $d=9 \rightarrow A \ odd \ \rightarrow n \ odd$. Từ (3) suy ra
    $$1609+72 \le A+72 = \overline{16c9}+72 \le 1699+72 \rightarrow 1681 \le A+72 \le 1771$$
    $$\rightarrow 41^2 \le n^2 < 43^2$$
    Do $n$ lẻ nên $n=41$. Vậy $\boxed{A=1609}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 30-10-2011 - 09:53

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#13 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-10-2011 - 18:27

Bài 3:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\
2(x + y + z) + 2(xy + yz + xz) = 12 \\
\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}
(x + y + z)^2 + 2(x + y + z) = 15 \\
x + y + z + xy + yz + xz = 6 \\
\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x + y + z = 3 \\
x + y + z = - 5 \\
\end{array} \right. \\
x + y + z + xy + yz + xz = 6 \\
\end{array} \right.
\]
=>\[
= > \left[ \begin{array}{l}
xy + yz + xz = 3 \\
xy + yz + xz = 11 \\
\end{array} \right.
\]
\[
< = > \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
2.(xy + yz + xz) = 6 \\
2(xy + yz + xz) = 2 \\
\end{array} \right. \\
x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\
\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}
2(x^2 + y^2 + z^2 ) = 6 \\
\left[ \begin{array}{l}
2.(xy + yz + xz) = 6 \\
2(xy + yz + xz) = 2 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l}
(x - y)^2 + (x - z)^2 + (z - y)^2 = 0(n) \\
(x - y)^2 + (x - z)^2 + (z - y)^2 = 4(l) \\
\end{array} \right. < = > x = y = z
\]

=> x=y=z =1
Bài này mình trình bày không logic cho lắm thông cảm nhé :D

Giải như vầy thì không logic là đúng rồi :closedeyes: Dùng BĐT AM-GM chặn $xy+yz+zx \le 3$ thì sẽ không nhận giá trị $xy+yz+zx=11$.
P/s:@Huy: Anh học THPT có được phép giải mấy bài này không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-10-2011 - 18:31

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 29-10-2011 - 20:11

Mình giải bài 3 như thế này.
Ta dễ dàng có các bất đẳng thức sau bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (không phải AM-GM vì chưa rõ âm dương thế nào):

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 2x\\{y^2} + 1 \ge 2y\\{z^2} + 1 \ge 2z\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2(x + y + z)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Ta cũng có:$2({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 2(xy + xz + yz)$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được:

$3({x^2} + {y^2} + {z^2}) + 3 \ge 2(x + y + z + xy + xz + yz) = 2.6 = 12$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3$

Mà theo đề thì đẳng thức đã xảy ra.
Vậy $x=y=z=1$
------------------------------
@to dark templar: Anh cứ tham gia giải các bài này cho topic sôi nổi đi. THPT cũng được mà.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#15 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-10-2011 - 20:14

Mình giải bài 3 như thế này.
Ta dễ dàng có các bất đẳng thức sau bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (không phải AM-GM vì chưa rõ âm dương thế nào):

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 2x\\{y^2} + 1 \ge 2y\\{z^2} + 1 \ge 2z\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2(x + y + z)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Ta cũng có:$2({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 2(xy + xz + yz)$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được:

$3({x^2} + {y^2} + {z^2}) + 3 \ge 2(x + y + z + xy + xz + yz) = 2.6 = 12$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3$

Mà theo đề thì đẳng thức đã xảy ra.
Vậy $x=y=z=1$
------------------------------
@to dark templar: Anh cứ tham gia giải các bài này cho topic sôi nổi đi. THPT cũng được mà.

Ah cái ban đầu em xài vẫn là hệ quả của BĐT AM-GM.Nên để ý rằng $x^2 \ge 0,\forall x$ nên theo BĐT AM-GM,ta có:
$$x^2+1 \ge 2\sqrt{x^2}=2|x| \ge 2x$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-10-2011 - 20:14

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#16 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 29-10-2011 - 21:17

Các bạn đừng ai giải bài hình số 6 nhé. Mình cũng đã xóa trên đề rồi.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#17 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-11-2011 - 22:36

ĐỀ 2:
Bài 2:
1, \[VT = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} + |x + 10| = |x - 3| + | - 10 - x| \ge |x - 3 - x - 10| = 13 > 12 = VP\]
Vậy pt vô nghiệm.
2, $DK:5 \ge x \ge 1$


\[pt \Leftrightarrow 9x - 9 + 80 - 16x + 24\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5 - x} \right)} = 64\]

\[ \Leftrightarrow 24\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5 - x} \right)} = 7x - 7 = 7\left( {x - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {24\sqrt {5 - x} - 7\sqrt {x - 1} } \right) = 0\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt {x - 1} = 0 \\ 24\sqrt {5 - x} - 7\sqrt {x - 1} = 0 \\ \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ {24^2}\left( {5 - x} \right) = {7^2}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{2929}}{{625}} \\ \end{array} \right.\]
Kết luận: $S = \left\{ {1;\dfrac{{2929}}{{625}}} \right\}$

Bài 4:

\[y = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2} + 2}}{{{x^4} + 1 + {{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{{x^4} + {x^2} + 1 + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 2}}{{{x^4} + 1 + {x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1}}\]

\[ = \dfrac{{{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 2}} = \dfrac{t}{{2t - 4}}\]
với
\[t = {x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 3 = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} + 2 = {\left[ {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]^2} + 2 \ge \dfrac{{41}}{{16}}\]

\[y = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{4}{t}}} \le \dfrac{1}{{2 - \dfrac{4}{{\dfrac{{41}}{{16}}}}}} = \dfrac{{41}}{{18}} \Rightarrow \max y = \dfrac{{41}}{{18}} \Leftrightarrow t = \dfrac{{41}}{{16}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{2}\]

Bài 5:
Gọi M(m;n) là điểm bất kì. M' đối xứng với M qua I(-1;-2) thì

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2} = - 1 \\ \dfrac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2} = - 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 2 - m; - 4 - n} \right)\]
Gọi (H) là đồ thị của f(x).

\[M \in \left( H \right) \Leftrightarrow n = \dfrac{{3 - 2m}}{{m + 1}}\]


\[ \Leftrightarrow - 4 - n = - 4 - \dfrac{{3 - 2m}}{{m + 1}}\]

\[ \Leftrightarrow - 4 - n = \dfrac{{4m + 4 + 3 - 2m}}{{ - m - 1}} \Leftrightarrow - 4 - n = \dfrac{{3 - 2\left( { - 2 - m} \right)}}{{\left( { - 2 - m} \right) + 1}}\]

\[ \Leftrightarrow {y_{M'}} = f\left( {{x_{M'}}} \right) \Leftrightarrow M' \in \left( H \right)\]
Vậy ta có đpcm.


Bài 7:
\[\left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 4} \le {x^2} - 9\]

ĐK:${x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2 \vee x \le - 2(1)$
TH1: $x>3 \Rightarrow x-3>0;x+3>0$.

\[bpt \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} \le x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \le {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow 6x \ge - 13 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{ - 13}}{6}\]
$\Rightarrow x>3$.
TH2: $x=3$: thỏa
TH3: $-3 \leq x<3 \Rightarrow x-3<0;x+3 \geq 0$.

\[bpt \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} \ge x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow 6x \le 13 \Leftrightarrow x \le \dfrac{{13}}{6}\]
Kết hợp (1), ta có:

\[x \in \left[ {\dfrac{{13}}{6};2} \right] \cup \left[ { - 2; - 3} \right]\]
TH4: $x<-3 \Rightarrow x-3<0; x+3 <0$.

$bpt \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} \ge x + 3$: đúng với mọi $x<-3$.
Kết luận:

\[S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {\dfrac{{13}}{6};2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\]

P/S: Đây là cách của anh. Có thể không chuẩn lắm (do lâu không đụng đến). Có gì thì lượng thứ nhé.
:lol:
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#18 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 02-11-2011 - 16:14

Cảm ơn các bạn đã ủng hộ topic của mình.

Bài anh Hân giải thế là chuẩn rồi.

Ở bài 2 b thì em nghĩ giải thế này nhanh hơn:

Đặt: $a = \sqrt {x - 1} ;b = \sqrt {5 - x} $. ĐK: $a,b \ge 0$ thì ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}3a + 4b = 8\\{a^2} + {b^2} = 4\end{array} \right.$

Vậy là đề 2 đã giải xong, mình xin post tiếp bộ đề số 3.

BỘ ĐỀ SỐ 3

Bài 1: Rút gọn:

$A = \dfrac{{{b^2} - 3b - (b - 1)\sqrt {{b^2} - 4} + 2}}{{{b^2} + 3b - (b + 1)\sqrt {{b^2} - 4} }+2}.\sqrt {\dfrac{{b + 2}}{{b - 2}}} $


Bài 2: Giải phương trình:

1. $\sqrt {{x^2} + 5x + 13} + \sqrt {{x^2} + 5x - 11} = 12$

2. $\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {2{x^2} - 8x + 17} = 4x - {x^2}$


Bài 3: Cho pt ẩn x, a là tham số:

${x^4} + 2{x^2} + 2ax + {(a + 1)^2} = 0$

Tìm giá trị min và max trong các nghiệm của pt và a tương ứng.


Bài 4: Cho $(O;R)$ và điểm A cố định sao cho $OA=3R$. Một cát tuyến quay quanh A, cắt $(O)$ tại B và C.

1. Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OBC chạy trên một đường cố định.

2. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C cắt nhau tại K. Gọi H là hình chiếu của M trên OA. Tính OH.

3. Tìm quỹ tích điểm K


Bài 5: Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu các bình phương của chúng chia hết cho 20.


Bài 6: Giải hệ pt:


$\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{(x + 1)^3} + {(y + 1)^3} = 35\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 25-11-2011 - 19:17

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#19 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 03-11-2011 - 20:36

Mình xin làm câu 1:
$PT=\dfrac{b^2-3b+2-(b-1)\sqrt{b^2-4}}{b^2+3b+2-(b+1)\sqrt{b^2-4}}.\sqrt{\dfrac{b+2}{b-2}}$
$=\dfrac{(b-1)(b-2)-(b-1)\sqrt{b^2-4}}{(b+1)(b+2)-(b+1)\sqrt{b^2-4}}.\sqrt{\dfrac{b+2}{b-2}}$
$ = \dfrac{{(b - 1)(b - 2 - \sqrt {{b^2} - 4} )}}{{(b + 1)(b + 2 - \sqrt {{b^2} - 4} )}}.\sqrt {\dfrac{{b + 2}}{{b - 2}}} $
$=\dfrac{(b-1)\sqrt{b-2}(\sqrt{b-2}-\sqrt{b+2})}{(b+1)\sqrt{b+2}(\sqrt{b+2}-\sqrt{b-2})}.\sqrt{\dfrac{b+2}{b-2}}$
$=-\dfrac{(b-1)\sqrt{b-2}}{(b+1)\sqrt{b+2}}.\sqrt{\dfrac{b+2}{b-2}}$
$=-\dfrac{b-1}{b+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 03-11-2011 - 20:47

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#20 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 03-11-2011 - 21:25

Các bạn sôi nổi lên chứ. Cùng giải bộ đề số 3 nào.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh