Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng: Nếu $\left ( I+AB \right )$ khả nghịch thì $\left ( I+BA \right )$ cũng khả nghịch


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 messicbn

messicbn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-10-2011 - 17:07

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 28-12-2011 - 21:15


#2 NhatRio

NhatRio

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin-Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQG HCM
  • Sở thích:Đá bóng, âm nhạc, nuôi cá kiểng!!!

Đã gửi 31-10-2011 - 19:23

Dự đoán : $D^{-1}=I-BC^{-1}A$ với $ C=I+AB; D=I+BA.$
Thật vậy:
$D(I-BC^{-1}A)=D-(I+BA)BC^{-1}A=D-(BC^{-1}A+BABC^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+B(C-I)C^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+BCC^{-1}A-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Mặt khác:
$(I-BC^{-1}A)D=D-BC^{-1}A(I+BA)=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}ABA)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}(C-I)A)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}CA-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Do đó:
$D^{-1}=I-BC^{-1}A$ và $D=I+BA$ khả nghịch.
Xem rồi cho mình ý kiến nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatRio: 31-10-2011 - 19:32


#3 Vani

Vani

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Đã gửi 25-12-2012 - 23:04

Dự đoán : $D^{-1}=I-BC^{-1}A$ với $ C=I+AB; D=I+BA.$
Thật vậy:
$D(I-BC^{-1}A)=D-(I+BA)BC^{-1}A=D-(BC^{-1}A+BABC^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+B(C-I)C^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+BCC^{-1}A-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Mặt khác:
$(I-BC^{-1}A)D=D-BC^{-1}A(I+BA)=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}ABA)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}(C-I)A)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}CA-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Do đó:
$D^{-1}=I-BC^{-1}A$ và $D=I+BA$ khả nghịch.
Xem rồi cho mình ý kiến nhé!

làm sao mà mình dự đoán được hả anh? không lẽ phải học thuộc hả anh? :(

#4 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 01:09

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Đây là 1 cách chứng minh khá tự nhiên từ sách.(không phải mình)
Phản chứng I+BA không khả nghịch
Tồn tại vector X sao cho (I+BA)X=0
X=-BAX
Y=AX
X=-BY (Y khác O)
(I+AB)Y=Y+ABY=Y+AB(AX)=Y-AX=O
I+AB không khả nghịch.Mâu thuẫn giả thiết.
vậy I+BA khả nghịch.:)

#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-02-2013 - 07:47

Cách giải này có chổ này cần giải thích thỏa đáng Cường à!

Đó là tại sao $Y\neq O$?

.....................
Trong quá trình tìm hiểu bài toán này tôi cũng đã góp nhặt thêm một công cụ giải quyết bài này. Đó là bài toán sau:

Cho ma trận vuông A, B. CMR: $\det (I+AB)=\det (I+BA)$

Bài này đã đưa lên diễn đàn rồi. Các bạn tìm qua đó thảo luận nhé! hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 10:33

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 08:30

Cách giải này có chổ này cần giải thích thỏa đáng Cường à!

Đó là tại sao $Y\neq O$?

.....................
Trong quá trình tìm hiểu bài toán này tôi cũng đã góp nhặt thêm một công cụ giải quyết bài này. Đó là bài toán sau:

Cho ma trận vuông A, B. CMR: $\det (I+AB)=\det (I+BA)$

Bài này đã đưa lên diễn đàn rồi. Các bạn tìm qua đó thảo luận nhé! hi

Ô anh.Y là vector Y mà.Y khác O vì X khác O mà anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 10:29


#7 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-02-2013 - 09:10

Nếu giải thích rằng: Vì $X\neq O$ mà suy ra $Y=AX\neq O$ là chưa đủ cơ sở. Phải tìm thêm lời giải thích mạnh hơn. hi

Ví dụ:

Với $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ và $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ thì $Y=AX=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 09:12

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 09:17

Nếu giải thích rằng: Vì $X\neq O$ mà suy ra $Y=AX\neq O$ là chưa đủ cơ sở. Phải tìm thêm lời giải thích mạnh hơn. hi

Ví dụ:

Với $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ và $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ thì $Y=AX=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Nếu Y=0 thì lập tức X bằng 0 mà anh.
Mong anh đưa ra nhiều nhận xét hơn. :).Các bài trước nữa.Em làm rồi đó.anh có kết quả anh post trao đổi đi. :).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 01-02-2013 - 09:20


#9 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 05-02-2013 - 10:27

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Hôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.:D

#10 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-02-2013 - 15:45

Khẳng định sau có đúng không? Hãy chứng minh khẳng định của bạn.

Cho ma trận $A$ cấp $n\times m$ và ma trận $B$ cấp $m\times n$. Nếu ma trận $I_{n}-AB$ khả nghịch thì ma trận $I_{m}-BA$ khả nghịch

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-02-2013 - 15:49

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#11 1414141

1414141

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi 2

Đã gửi 14-06-2014 - 19:19

Hôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.:D

vẫn là sử dụng tính chất 2 đa thức đặc trưng của 2 ma trận hoán vị là một
Tôi đang thay đổi !

#12 khangtran

khangtran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 13-03-2019 - 18:21

Ta có : 

$det \begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & AB + I \end{pmatrix} = det (I + AB)$

 

Mặc khác:

$det\begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & BA + I \end{pmatrix} = det ( I + BA)$

 Nên $det (I + AB) = det(I + BA)$

Suy ra $I + AB$ khả nghịch






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh