Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức phụ

Quyên góp Tổng hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 108 trả lời

#61 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 07-05-2013 - 22:20

Cho a,b,c dương, abc=1, cmr:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

 

CM:

Ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}= \frac{a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b}{abc}= a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b$

Lại có:

Theo bđt cô si 3 số:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+a^{2}c\geq 3a$

Cm tương tự => Cộng vế ta có đfcm.

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1.

Có thể chứng minh như sau : 

 Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}=3a$

tương tự ta có               $\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3b$

                                     $\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \geq 3c$

Cộng 3 bđt lại ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#62 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 07-05-2013 - 23:22

 


1 bài để các bạn thảo luận nè
$\blacklozenge$ Cho $x,y,z\in [\frac{1}{3};3]$ Tìm $\min$ của
$\mathbb{Q}=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$
(điểm rơi là bộ $[\frac{1}{3};1;3]$)

 

 

Giả sử $ x \leq y \leq z$

Ta có $Q=\frac{1}{1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Do giả sử như trên nên ta có $\frac{y}{x} \geq 1,\frac{z}{y} \geq 1$

Áp dụng bđt phụ số 35 ta có 

            $Q \geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{z}{x}}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Đặt $\sqrt{\frac{z}{x}}=t\Rightarrow 1 \leq t \leq 3$

Ta có $Q \geq \frac{2}{1+t}+\frac{1}{1+\frac{1}{t^2}}=\frac{2}{t+1}+\frac{t^2}{t^2+1}$ với $ q \leq t \leq 3$

Khảo sát $f(t) =\frac{2}{t+1}+\frac{t^2}{t^2+1}$ ta có $f(t)$ nghịch biến trên $\left [ 1;3 \right ]$

          $\Rightarrow Q \geq f(t) \geq f(3)=\frac{7}{5}$

Vậy Min $Q$ là $\frac{7}{5}$ khi $\left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}=\frac{z}{y}\\t=\sqrt{\frac{z}{x}} =3 \\ x,y,z \in \left [ \frac{1}{3};3 \right ] \end{matrix}\right.$

Hay $\left ( x,y,z \right )=(\frac{1}{3};1;3)$ và hoán vị

Mở rộng :Bằng cách làm tương tự nhưng sử dụng bđt $\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2} \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ với $a,b \leq 1$

Ta tìm được $Q_{max}=\frac{8}{5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 07-05-2013 - 23:23

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#63 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 27-05-2013 - 21:50

BĐT 2:
Với $ab \ge 1$ ta luôn có: \[\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\]
Chứng minh
Biến đổi tương đương:

\[\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0
\end{array}\]
Ta có đpcm.

cái này còn suy ra đc 1 đống bất đẳng thức tg tự hay sao ý ???



#64 cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lịch sử toán học

Đã gửi 13-06-2013 - 15:42

BĐT số 36:

Cho $m>0$, $n>0$. CMR:

$\frac{4}{m+n}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}$

 C/m:

Bình phương 2 vế dương: $bdt \Leftrightarrow \frac{16}{(m+n)^{2}}\geq \frac{8}{m^{2}+n^{2}} \Leftrightarrow 2(m^{2}+n^{2})\geq (m+n)^{2}$, đúng theo Cauchy-Schwart


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cool hunter: 13-06-2013 - 15:44

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#65 sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quế Võ-Bắc Ninh
  • Sở thích:Toán, bóng đá

Đã gửi 03-07-2013 - 08:15

Cho a,b là các số thực lớn hơn 1 thì ta có bất đẳng thức

$$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}-1}$$ 

Chứng minh

BĐT trên tương với$(a+b-2)(\sqrt{ab}-1)\geq2(ab-a-b+1)$

               <=>$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{ab+1})\geq0$ (với mọi $a,b>1$)

 



#66 hoangheroalone

hoangheroalone

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-07-2013 - 03:08

BĐT 20:



$\frac{a^2{}}{x}+\frac{b^2{}}{c}+\frac{c^2{}}{z}\geq \frac{\left ( a+b+c^{} \right )2}{x+y+z}$

chứng mính: áp dụng với $\frac{a^2{}}{x}+\frac{b^2{}}{y}\geq \frac{\left ( a+b^{} \right )^{2}}{x+y} <=>$ biến đổi tương đương ta được (ay-bx) 2$\geq$. áp dụng BĐT trên cho $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y} +\frac{c^2{}}{z}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$
suy ra dpcm

nếu có gì sai mong mọi người chỉ dùm nhé ! ^^ :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:

chuẩn rồi bạn ơi.cái này thì đơn giản mà


noi that chung cu | noi that gia re

đầm dự tiệc  |  thời trang và cuộc sống  |  thời trang trẻ  

                  --------------------------------------------------------

shop thoi trang  - shop thoi trang online tphcm

        ---------------------------------------------------------------------------

      

                            --------------------------------------

 


#67 AM GM

AM GM

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nam dinh

Đã gửi 14-07-2013 - 08:52

a,b,c $> 0\Rightarrow \sum \frac{a}{a+2b}\geq 1$

CM : 

dung côsi dang engel ta có

$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1$(dpcm)

bai toan áp dụng

cho a,b,c>0 ,abc=1 CM $\sum \frac{a+1}{a+2}\geq 2$

CM đặt a=$\frac{x}{y} ;b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

VT $= \sum \frac{x+y}{x+2y}$

lại có$\sum \frac{x+y}{x+2y}= \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{x}{x+2y}\right )+\frac{3}{2}$

dung BDT phụ $\Rightarrow dpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AM GM: 14-07-2013 - 09:01


#68 Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 11-07-2014 - 17:23

Nếu $a,b,c.0$ thoả mãn $a+b+c+abc=4$  thì $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Chứng minh:

Giả sử $a\geq b\geq c$ ta sẽ chứng minh $a+b-ab\geq \frac{4-a-b}{ab+1}\left ( a+b-1 \right )$

<=> $\left ( a+b-2 \right )^{2}\geq ab(a-1)(b-1)$

Theo bất đẳng thức AM-Gm ta có: $\left ( a+b-2 \right )^{2}\geq 4\left [ (a-1) \right(b-1) ]\geq ab(a-1)(b-1)$

=> dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 11-07-2014 - 17:23


#69 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 08-08-2014 - 18:27

Nếu $a,b,c.0$ thoả mãn $a+b+c+abc=4$  thì $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Chứng minh:

Giả sử $a\geq b\geq c$ ta sẽ chứng minh $a+b-ab\geq \frac{4-a-b}{ab+1}\left ( a+b-1 \right )$

<=> $\left ( a+b-2 \right )^{2}\geq ab(a-1)(b-1)$

Theo bất đẳng thức AM-Gm ta có: $\left ( a+b-2 \right )^{2}\geq 4\left [ (a-1) \right(b-1) ]\geq ab(a-1)(b-1)$

=> dpcm

p/s: Bài này là bài VMO 1996 Bảng B.... chưa gọi là BĐT phụ được bạn ạ...

Với mọi x,y>0 ta có: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$ (nguồn BT của anh Cẩn)

Chứng minh: ta luôn có $(1+x)^2\leq (1+xy)(1+\frac{x}{y})$  ...rồi cộng lại có đpcm


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#70 Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 11-08-2014 - 20:36

p/s: Bài này là bài VMO 1996 Bảng B.... chưa gọi là BĐT phụ được bạn ạ...

Với mọi x,y>0 ta có: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$ (nguồn BT của anh Cẩn)

Chứng minh: ta luôn có $(1+x)^2\leq (1+xy)(1+\frac{x}{y})$  ...rồi cộng lại có đpcm

Thưa bạn đã có một số bài BDDT đưa ra điều kiện $a+b+c+abc=4$ rồi. Ví dụ một bài của anh Phạm Kim Hùng



#71 vuducvanno1

vuducvanno1

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K48 Chuyên sư phạm
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 26-09-2014 - 10:20

Bất đẳng thức Mincopski:$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}} Dấu bằng khi a;b và c;d là hai bộ tỉ lệ$



#72 John Carter

John Carter

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Toán + thơ

Đã gửi 26-09-2014 - 23:55

 

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ



Trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ở cấp THPT, ta thường bắt gặp các Bất đẳng thức phụ , các Bổ đề nhỏ.
Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng. Nhưng cũng có khi ta băn khoăn không hiểu vì sao lại sử dụng bất đẳng thức phụ đó và đôi khi ta không biết về nó.
Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ.
Biết càng nhiều Bất đẳng thức phụ xem như ta có thêm nhiều vũ khí, khi cần có thể đem ra dùng để đối phó với các bài toán Bất đẳng thức.
Rất mong được mọi người ủng hộ.

* Một số yêu cầu nhỏ:
- Các Bất đẳng thức phụ đưa ra phải có hình thức ngắn gọn.
- Cách chứng minh các Bất đẳng thức phụ đó cần rõ ràng, mạch lạc, càng ngắn gọn càng tốt.
- Mọi người đưa BĐT phụ lên nếu có thể thì chứng minh luôn.
- Mọi người có thể post nhiều cách chứng minh bổ đề.
- Topic ứng dụng các BĐT phụ này sẽ được mở sau khi đã có số lượng BĐT phụ phong phú.

Hy vọng mọi người tham gia nhiệt tình để tổng hợp thành một tài liệu hay cho VMF.

 

các anh cho em xin các ứng dụng của nguyên lí dirichlet trong giải BĐT ạ, e xin cám ơn



#73 nguyenvantrungtc2014

nguyenvantrungtc2014

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 28-09-2014 - 05:49

với số thực không âm a,b,c ta có bất đẳng thức sau :

$\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\geqslant \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenvantrungtc2014: 28-09-2014 - 05:59


#74 o0ohung4499o0o

o0ohung4499o0o

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Tinh
  • Sở thích:math, công nghệ thông tin

Đã gửi 23-10-2014 - 22:33

cách khác này dung bunhia thôi
 ta có  $(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(x+y+z)\req(a^2+b^2+c^2)$
suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi o0ohung4499o0o: 23-10-2014 - 22:34


#75 duongprovipvip

duongprovipvip

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 CT THPT Nguyễn Thượng Hiền-TPHCM
  • Sở thích:XEM BÓNG ĐÁ

Đã gửi 16-12-2014 - 14:22

:) 



#76 duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-02-2015 - 22:35

cái này còn suy ra đc 1 đống bất đẳng thức tg tự hay sao ý ???

 

VD với 3 số, (tương tự tổng quát cho n số ) : Cho $a,b,c\geq 1$ CMR : 

 

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{1+abc}$

 

LG :

 

Áp dụng liên tiếp 2 lần BĐT với 2 số đã chứng minh ở trên :

 

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{abc+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\geq \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{a^4b^4c^4}}}=\frac{4}{1+abc}$

 

Suy ra ĐPCM.

 

TQ: Cho $a_{i}\geq 1\forall i=\overline{1,n}$

CMR : 

$\sum_{n}^{i=1}\frac{1}{1+a^n}\geq \frac{n}{1+\coprod_{n}^{i=1}a_{i}}$


          

 

 

 


#77 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-02-2015 - 14:36

Bất đẳng thức số 37. Cho các số thực $a,b,c$. Khi đó ta luôn có $(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a)$
Chứng minh.
Đặt $a=c+x, b=c+y$ thì bất đẳng thức trở thành: $(x^2-xy+y^2)c^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)c+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geqslant 0$
$\Delta=-3(x^3+y^3-x^2y-2xy^2)^2\leqslant 0$
Bất đẳng thức số 38. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Ta luôn có: $4(a+b+c)^3\geqslant 27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$
Chứng minh.
Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên đúng vì
$4(a+b+c)^3-27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)=9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$
Bất đẳng thức số 39. Cho các số thực dương $x,y,z$ có tích bằng $1$. Ta luôn có: $x^2+y^2+z^2+6\geqslant \dfrac{3}{2}\left(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$
Chứng minh.
Giả sử $x=\text{min}\{x,y,z\}$ thì $x\leqslant 1$ và đặt $t=\sqrt{yz}$
Xét hàm số $P(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-\dfrac{3}{2}\left(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+6$
$P(x,y,z)-P(x,t,t)=\dfrac{(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2\left[2(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2-3-\dfrac{3}{yz}\right]}{2} \geqslant 0$ do $yz\geqslant 1$

$P(x,t,t)=\dfrac{(t-1)^2\left[(t^2-2t-1)^2+t^2+1\right]}{2t^4}\geqslant 0$
cho ta điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#78 Rodriguez215

Rodriguez215

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 24-08-2015 - 21:33

làm bt17 đi bạn



#79 locnguyen2207

locnguyen2207

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hồng Lĩnh - Tỉnh Hà Tĩnh

Đã gửi 05-09-2015 - 10:02

Bất đẳng thức Mincopski:$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}} Dấu bằng khi a;b và c;d là hai bộ tỉ lệ$

Ta có: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} \Leftrightarrow (a^{2} + c^{2})(b^{2} + d^{2}) \geq (ab + cd)^{2}.$ (luôn đúng)


                 hinh-dong-hai-huoc-23.gif


#80 vutuannam

vutuannam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2015 - 21:11

BĐT 20:



$\frac{a^2{}}{x}+\frac{b^2{}}{c}+\frac{c^2{}}{z}\geq \frac{\left ( a+b+c^{} \right )2}{x+y+z}$

chứng mính: áp dụng với $\frac{a^2{}}{x}+\frac{b^2{}}{y}\geq \frac{\left ( a+b^{} \right )^{2}}{x+y} <=>$ biến đổi tương đương ta được (ay-bx) 2 $\geq$. áp dụng BĐT trên cho $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y} +\frac{c^2{}}{z}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$
suy ra dpcm

nếu có gì sai mong mọi người chỉ dùm nhé ! ^^ :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:

dùng bđt bunhia là ra mà







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Quyên góp, Tổng hợp

4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh