Không biết đã tới bài mấy rồi nữa,Mod đánh dấu bài lại dùm mình nha.Đã có dự định viết chuyên đề BĐT phụ này từ lâu,đã thành bản thảo trên giấy nhưng chưa có thời gian soạn,mong được anh
vietfrog chỉ bảo thêm
.Em post thử vài bài,mọi người góp chút ý kiến nha.
1.$\dfrac{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}{3} \ge {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^n}$ với $a,b,c > 0;n \in \mathbb{N}$
Chứng minh
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
${a^n} + \left( {n - 1} \right){\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^n} \ge n.{\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^{n - 1}}.a$
${b^n} + \left( {n - 1} \right){\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^n} \ge n.{\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^{n - 1}}.b$
${c^n} + \left( {n - 1} \right){\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^n} \ge n.{\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^{n - 1}}.c$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
Ứng dụng
Với $a,b,c \geq 0$ .Chứng minh rằng:
$${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {\left( {\dfrac{{a + 2b}}{3}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{{b + 2c}}{3}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{{c + 2a}}{3}} \right)^3}$$
2.Cho $ x,y,z$ là các số thực không âm .Ta có:
$$ x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le\frac{4}{27}(x+y+z)^3$$
Lời giải
Ta có theo bổ đề trên:
$$\dfrac{{{{\left( {{a^2}} \right)}^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2} + {{\left( {{c^2}} \right)}^2}}}{3} \ge {\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^2} \ge {\left( {\dfrac{{a + 2b}}{3}} \right)^4}$$
Tượng tự cho các biến còn lại,cộng lại cho ta điều phải chứng minh.
Chứng minh
Giả sử $y$ là số nằm giữa $x , z $ ta có:$z(x-y)(y-z)\geq0$.Từ đó ta có:$x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le x^2y+y^2z+z^2x+xyz+z(x-y)(y-z)=y(x+z)^2$
$$=\frac{1}{2}.2y.(x+z)(x+z)\le\frac{4}{27}(x+y+z)^3$$
Ứng dung:Đây là bài toán hay của tác giả Vaisile Cirtoaje có nhiều bài toán ứng dụng rất hay:
Cho các sô thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq\frac{1}{6}$$
Trần Quốc Anh
Giải
Ta có:
$\frac{a}{b^3+16}=\frac{1}{16}(a-\frac{ab^3}{b^3+16})=\frac{1}{16}(a-\frac{ab^3}{b^3+2^3+2^3})\geq\frac{1}{16}(a-\frac{ab^2}{12})$
Từ đó suy ra:
$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq\frac{1}{16}(3-\frac{(ab^2+bc^2+ca^2)}{12})\geq\frac{1}{6}$
Hay
$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$. Đây là kết quả yếu của bài toán trên.
3.Cho $ a,b,c $ là các số thực thoả $a \geq b \geq c$ .Ta có:
1.$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\le$ $3+3(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
2.$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\le$ $5+2(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
Chứng minh
1.Ta có: $ 3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
$\le$ $3+3(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
Hay
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})$ $\le$ $2(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
$VT-VP=\frac{(b-c)(a^2-bc)+(a-b)(ab-c^2)}{abc}\geq0$
Do điều kiện,ta dễ suy ra điều phải chứng minh.
2.Tương tự .
Ứng dụng:Bài toán quen thuộc là đề thi thử VMF năm 2012 lần 3.
4.$3{\left( {{a^2} - a + 1} \right)^3} \ge {a^6} + {a^3} + 1\,\,\,\forall a \ge 0$
Chứng minh:
Ta có $3{\left( {{a^2} - a + 1} \right)^3} - \left( {{a^6} + {a^3} + 1} \right) = {\left( {a - 1} \right)^4}\left( {2{a^2} - a + 2} \right) \ge 0$.
Ứng dụng
Cho $x,y,z \geq 0$ chứng minh rằng:
$$ 3\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) \ge {\left( {xyz} \right)^2} + xyz + 1$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thienlonghoangde: 26-11-2012 - 21:16