Cho a,b,c dương, abc=1, cmr:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$
CM:
Ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}= \frac{a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b}{abc}= a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b$
Lại có:
Theo bđt cô si 3 số:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+a^{2}c\geq 3a$
Cm tương tự => Cộng vế ta có đfcm.
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1.
Có thể chứng minh như sau :
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}=3a$
tương tự ta có $\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3b$
$\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \geq 3c$
Cộng 3 bđt lại ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$