Chủ đề này có 2239 trả lời

[chuyentoan]

Cái này thì chắc ai cũng nghĩ ra nhưng sử dụng như thế nào mới là vấn đề !

[sieunhan]

Bổ đề 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp AB cắt CD ở E,AD cắt AD và BC ở F,AC cắt BD ở H.
Gọi P,Q là trực tâm EAB,ECD R,S là trưc tâm FAD,FBC
Ta có P,Q,R,S,H thẳng hàng (Dường thẳng Steiner của tứ giác toàn phần)
Gọi K,L là trực tâm tam giác HAB,HCD khi đó E,K,L thẳng hàng;
Gọi M,N là trực tâm tam giác HAD,HBC thì F,M,N thẳng hàng;
Các kết quả trên đều có thể chứng minh dựa vào các đường tròn đường kính AC và BD,AB và CD,AD và BC ;
Có thể cm (FMN) cắt (EKL) trên duởng thẳng (PQRS)
Các hệ quả
1)Cho tam giác ABC. Đường tròn qua B, C cắt AB, AC tại C', B'. H, H' lần lượt là trực tâm ABC, A'B'C'. Chứng minh : HH', BB', CC' đồng quy (Đề nghị IMO của Colombia)
2)Tứ giác ABCD có 3 góc đỉnh A,B,C bằng nhau.Chứng minh đường tròn Ơle tam giác ABC qua D
3) ABC,B',C' là chân đường cao từ B,C B1,C1 trung điểm AB,AC B1C1 cắt B'C' ở L.Chứng minh AL OH với O,H là kí hiệu quen thuộc
Các hệ quả tiếp theo sẽ đưa sau

[euler]

Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC .M là điểm nằm trên cung nhỏ AB .Qua M , kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại K và AC tại L .Đường thẳng qua M vuông góc với OB cắt AB tại N và BC tại P .Giả sử MN=KL .Tính góc theo số đo các góc tam giác ABC

[euler]

Cho đường thẳng và hai điểm P ,Q nằm cùng một phía so với đường thẳng .Gọi M , N là các điểm nằm trên đường thẳng và thoả mãn , .Cho S là điểm nằm giữa hai đường thẳng PM , QN sao cho PM=PS .Hai đường tring trực của SM và SN gặp nhau tại R .Gọi T là giao điểm thứ hai của đường thẳng RS và đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR .Chứng minh RS=RT.

[ducquang98]

Cho tam giác ABC với BA<BC ngoại tiếp (I).Gọi M là trung điểm của AC,N là trung điểm cung ABC của (ABC).Chứng minh góc IMA=góc INB

[ducquang98]

Cho tam giác ABC nội tiếp (I).(I) tiếp xúc với 3 cạnh BC,CA,AB tại D,E,F.3 đường cao trong tam giác là AH,BK,CL.Gọi O là tâm (ABC).Gọi P,Q,R là trung điểm của AH,BK,CL.Chứng minh rằng DP,EQ,FR,OI đồng quy.

[007thach]

Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tia phân giác của góc A, B, C lần lượt cắt đường tròn tại A', B', C'. Chứng minh diện tích phần giao giữa ΔABC và ΔA'B'C' bằng 2/3 S ΔABC .

[pet1]

bài bạn cho sai rồi.(bài này quen thuộc với nhiều bạn rồi).
Diện tích phần giao nhau http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{2}{3}.S_{ABC} chứ ???
và có thêm Diện tích phần giao nhau http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{2}{3}.S_{A&#39;B&#39;C&#39;}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pet1: 23-09-2005 - 17:24

[monkey]

???? Bài này ko đáng để mọi người wan tâm sao ?

[007thach]

Nếu vậy thì bạn giải giúp mình đi!!!!!!!!!!!
Mình cũng chả làm được.!

[007thach]

Đúng rồi, đề đúng phải là diện tích phần giao giữa 2 ABC với A'B'C'
>= 2/3. Vậy có ai giải được bài này không?

[Laoshero1805]

Gọi P là trung điểm cung AC không chứa B. Ta có PI = PC (tính chất của tâm nội tiếp trong tam giác). Mà PC² = PM.PN <=> PI² = PM.PN <=> tam giác PIM ~ tam giác PNI (c.g.c) => <PMI = <PIN <=> <BNI + 90° = <IMA + 90° <=> <BNI = <IMA.

[Together]

Bài này bạn cm nhờ đưa về lượng giác cũng đc !!
Hoặc đã có 1 lời giải trong bài viết trên báo toán tuổi thơ của thầy Nguyễn Minh Hà

[Laoshero1805]

Bạn Euler xem lại đề tí nha! Mình thấy kết quả này có vấn đề đấy!

[ducquang98]

Đây là bài dự tuyển IMO 2002.Bạn đã cắt bớt đề bài nên bài toán trở nên khó.Gội và O' là tâm 2 đường tròn trên.Dễ chứng minh OBO' đồng dạng với CBD.Gọi I,J là trung điểm của BC,BD.Ta sẽ chứng minh được rằng AIM đồng dạng với NJA.Từ đó bạn chỉ cần biến đổi góc là ra.
Thông cảm vì mình không biết đánh LATEX nên rất khó có thể viết lời giải cụ thể

[ducquang98]

Cho mình hỏi các tiếp tuyến đó có phải là tiếp tuyến chung hay là tiếp tuyến bất kỳ vậy?

[sieunhan]

(I) là tâm nội tiếp các đường thẳng đó đồng qui trên OI là đường nối tâm ngoại và nội tiếp cách chứng minh khá cơ bản,có thể dùng tính toán chỉ ra mỗi đường thẳng cắt OI theo một tỉ số không đổi.CÒn có một cách rất hay(sẽ post sau)

[ducquang98]

Cảm ơn bạn siêu nhân.Mình có một lời giải thế này:
-Gọi O1 là đường tròn bàng tiếp tại góc A của tam giác ABC.AO1 cắt BC tại P.Ta có (APIO1)=-1.Do đó gọi Q là hình chiếu của O1 lên BC thì ta cũng có (HPDQ)=-1.Do đó theo một tính chất cơ bản của hàng điểm điều hòa ta suy ra O1D qua trung điểm của AH.Do đó bài toán quy về việc chứng minh O1D,O2E,O3F,OI đồng quy.Điều này khá đơn giản vì tam giác O1O2O3 và tam giác DEF có các cạnh tương ứng song song nên các đường thẳng trên đồng quy tại tâm vị tự và điểm này nằm trên đường nối tâm I và tâm (O1O2O3).Lại chú ý là (ABC) là đường tròn Euler trong tam giác O1O2O3 nên tâm (O1O2O3),I,O thẳng hàng ta suy ra đpcm

[DTSK]

cho tam giác ABC .M,N lần lượt là điểm thuộc AB,AC.BN giao CM tại O.Xác định vị trí của M,N sao cho diện tích tam giác MNO max.

[sieunhan]

Lời giải của bạn khá hay.Tuy nhiên chỉ càn 3 nhận xét sau là ra
1)EF cắt BC ở A' thì AD là đường đối cực của A' với (I)
2)Trung điểm A'D là A1 nhận DP là đường đối cực đối với (I);
3)A1,B1,C1 thẳng hàng và (A1B1C1) viong góc (OI);