Chủ đề này có 5 trả lời

[banhbaocua1]

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố lớn hơn $3$ và $p-q=2$. Chứng minh rằng $p+q$ chia hết cho $12$.

Mod. Đề nghị bạn học gõ công thức toán và gõ Tiếng Việt có dấu trên diễn đàn, cảnh cáo lần 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-11-2011 - 16:22

[Zaraki]

Do $q$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên $q \not\vdots 3$, vậy $q$ có dạng
$$q=3k \pm 1$$
+ Nếu $q=3k+1 \Rightarrow p=3k+3$ và do đó $p \ \vdots \ 3 $. Mặt khác $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, mâu thuẫn.

Vậy $q=3k-1 \Rightarrow p=3k+1$. Từ đó:
$$p+q=6k \Rightarrow p+q \vdots 3$$
Xét $2$ số $p+1$ và $p-1$, ta thấy đây là $2$ số chẵn liên tiếp (vì $p,q$ là các số nguyên tố lớn hơn $3$ và $(p+1)-(q+1)=2$). Do vậy trong hai số $p+1$ và $q+1$ có một số chia hết cho $4$. Không mất tính tổng quát, giả sử $(q+1) \ \vdots \ 4$, khi đó $q+1=4m \rightarrow p=4m-1$ và do đó $p=4m+1$. Từ đó:
$$p+q=4m \Rightarrow (p+q) \vdots 4$$

Do $(3,4)=1$, nên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-10-2011 - 14:16

[ChuDong2008]

một số nguyên tố lớn hơn 3 được biểu diễn dưới dạng 6k+1 hoặc 6k - 1. Lập luận như trên có KQ.

[banhbaocua1]

em lam` the' nay` dc ko
$p-q=2 \Rightarrow p=2+q$
$\Rightarrow$ $p+q=2+q+q= 2 ( q+1)$
q nto' >3 => $q+1 :2 \Rightarrow 2(q+1) :4$
Ta co' $p^{2}-q^{2}$ chia het cho 3
That vay neu' $p=3k+(-1)1$ thi` $p^{2} :3$ du 1
$q=3k +(-) $ 1 thi` $q^{2} :3 $ du 1
$\Rightarrow$ $p^2-q^2$ chia het cho 3
$\Rightarrow$ $(p+q)(p-q)$ chia het cho 3
$\Rightarrow$ $( p+q).2$ chia het cho 3
$\Rightarrow$ $p+q $chia het cho 3
$\Rightarrow$ DPCM
Ai cho y kien vs
Mod. Đề nghị bạn học gõ công thức toán và gõ Tiếng Việt có dấu trên diễn đàn, cảnh cáo lần 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 26-10-2011 - 20:02

[Khải Hoàn]

Làm thế này dễ hiểu này:
vì a,b nguyên tố lớn hơn 3 suy ra không số nào chia hết cho 3, hiệu hai số khong chia hết cho 3 tức là hai số này không đồng dư mod 3 suy ra một số đồng dư 1, số kia đồng dư 2 mod3 suy ra tổng của chúng chia hết cho 3
Vì a,b nguyên tố lớn hơn 3 suy ra không 2 số đều lẻ, hiệu hai số không chia hết cho 4 suy ra hai số không đồng dư mod 4
mà không có số nào đồng dư 2 mod4 (vì nếu thế thì nó là số chẵn lớn hơn 2 => hợp số) vậy một số đồng dư 3, số kia đồng dư 1 mod 4 => tổng chia hết cho 4
(3;4)=1 suy ra p+q chia hết 12

[ducna2002]

p, q là các số nguyên tố > 3.

Suy ra p, q lẻ và ko chia cho 3.

-p - q = 2

suy ra 1 số / 4 dư 1, 1 số / 4 dư 3.

suy ra p + q chia hết cho 4.(1)

-p-q =2

suy ra 1 số / 3 dư 1, 1 số / 3 dư 2.

suy ra p + q chia hết cho 3.(2)

(1), (2) suy ra p + q chia hết cho 12