Chủ đề này có 50 trả lời

[Anh Cuong]

Cho các số thực dương $ a,b,c $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}} +\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \sqrt{6}+1 $

DDTH

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:17

[Anh Cuong]

Như vậy cách của anh kummer ban đầu là chứng minh bất đẳng thức này đúng không:
$ \dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b} \geq \dfrac{\sqrt{24}{(a^2+b^2+c^2)}}{ab+bc+ca}+6-\sqrt{24} $
Có vẻ bất đẳng thức này không đúng thì phải, anh thử cho $ a=b=1, c=100 $
Về bài toán anh nói thì có thể chứng minh được giá trị lớn nhất của $ k = 4 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:18

[Anh Cuong]

Mấy bác để thiu hết rồi, còn ăn gì nữa chớ :cry

[hungkhtn]

Bình tĩnh nào... Chờ tớ ngày mai thôi!

[anhhong]

Lâu lắm mới gặp bác Anh Cuong.BÀi này có lẽ cứ bình phương lên sau đó cm 2 BĐT phụ = bđổi tương đương->xong
Bài này cùng dạng với bài "Night Mare" mà bác đã post trên cả dd và Mathlinks.

[thuy_linh]

Nói như bác ngon ơ ............ bác nói cụ tỉ ra em xem nào , chẳng hiểu gì cả

[hungkhtn]

He, hóa ra bài này cũng khá khó đấy chứ... Phải dùng S.O.S nhưng hơi trâu thôi.

[Anh Cuong]

Hả, save our soul hả, bạn cứ post lên đi, mình sẽ cải tiến để S.O.S bó tay

[hungkhtn]

Dùng S.O.S thì ta chỉ cần CM :

$(b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge \sqrt{abc}(\sqrt{6abc}+\sqrt{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$

Hi`! Bây h bạn thử làm nó khó hơn đi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:19

[MrMATH]

Nhìn liếc qua đoán là Hùng ghi thiếu 1 chỗ

[Anh Cuong]

Xù xù, sao xa xăm và tối tăm quá (chắc tại đeo kính đen) . Bạn làm kĩ hơn một chút được không, mình vẫn chưa thấy chút ánh sáng nào. Dù sao cũng đáp ứng nhu cầu của bạn:
Cho các số thực dương $ x,y,z $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}} \geq \sqrt{6}+2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:59

[hungkhtn]

Thế thì cái này sẽ đúng :

$(\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2})(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y})^{\sqrt{6}} \ge 6^{\sqrt{6}} $

Vì dạo này hơi bận nên đề lúc khác sẽ giải. Tôi vẫn tin rằng dùng S.O.S sẽ không khó khăn với mấy bài như vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:20

[Anh Cuong]

Trùi, sao rùng rợn cuộc đời vậy, lũy thừa $ \sqrt{6} $ lận hả. Chứng minh nó coi bộ còn khó hơn cả bài ban đầu đó.
Các bạn tiếp tục ủng hộ nhé, đến bây giờ vẫn chưa có lời giải hoàn chỉnh cho cả hai bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 16:00

[Anh Cuong]

Mình thế thử $ a=b=1, c=1.1$ rồi, thấy vẫn đúng mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 16:00

[hungkhtn]

Dinh ko vào dd vài tuần vậy mà hôm nay ghé qua vẫn thấy tranh luận về bài này. AC xem lại đi. Cái bdt tôi đưa ra hoàn toàn đúng, ko hiểu bạn thử kiểu j mà nó lại sai được. Nó rất dễ thôi. Dạo này tôi hơi bận nên ko có nhiều tg làm bất đt. Mấy bài của bạn đều giải bằng S.O.S được.

[Anh Cuong]

À, ban đầu mình tưởng là nhân $ \sqrt{6} $ nên mới tưởng nó sai. Nếu là lũy thừa $ \sqrt{6} $ thì bất đẳng thức đúng rồi, nhưng lũy thừa $ \sqrt{6} $ coi ra chứng minh không dễ chút nào, chắc phải xài đạo hàm qué, bạn post lời giải đi, thông thường S.O.S sẽ gặp khó khăn trong các bài toán có chứa bậc không nguyên dương hoặc là có dấu bằng ngoài ý muốn. Vì mình không muốn bất đẳng thức trở nên xấu xí nên không đánh giá chặt, nếu thay số 2 trong bất đẳng thức bằng một số khác chặt hơn thì S.O.S sẽ gặp khó khăn chứ. Dù sao số 2 cũng đủ khó rồi, vì mình cũng gặp khó khăn , phải dùng tới đạo hàm nếu không thì hơi " trâu ".
Thôi, không cãi nhau về S.O.S hay phương pháp gì nữa nhé, các bạn giải bằng phương pháp nào cũng được nhưng viết cho "dễ đọc, dễ hiểu và dễ cảm thụ" nhé .
À có bạn nào biết nguồn gốc phương pháp SOS không ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 16:01

[Kimluan]

Cho các số thực dương $ a,b,c $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}} +\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \sqrt{6}+1 $

Mình mới tìm được một cách cũng hơi ngộ ngộ cho bài toán này.Nếu đánh máy kịp thì để chiều nay post,còn không chậm nhất thì mai
Hi,mấy bác toàn bàn miệng không, mà không có ai chịu đưa ra một lời giải hoàn chỉnh nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:21

[Kimluan]

Lời giải nè:
Bài toán:
Cho các số thực dương $a^2b+b^2c+c^2a+b^2a+c^2b+a^2c<=\dfrac{2}{3}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
$<=\dfrac{\sqrt{2}}{3^{1/4}}(a^2+b^2+c^2)^{3/4}$(4)
Vì $\dfrac{\sqrt{2}}{3^{1/4}}(a^2+b^2+c^2)$ $>=\sqrt{a}\dfrac{\sqrt{2}}{3^{1/4}}(a^2+b^2+c^2)^{3/4}$(5)
Từ (4) và (5) suy ra để chứng minh (****) ta cần chứng minh:
$(2- \dfrac{\sqrt{2}}{3^{1/4}})(a^2+b^2+c^2) \ge \sqrt{6}\sqrt{a^2bc}$
$(2- \dfrac{\sqrt{2}}{3^{1/4}})^2(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2) \ge 6a^2bc$ (6)
Sử dụng các đánh giá:$a^4+b^4+c^4+2b^2c^2 \ge a^4+4b^2c^2 \ge 4a^2bc$
(Cô si cho hai số)
và đánh giá:$2a^2b^2+2c^2a^2 \ge 4a^2bc$
Suy ra (6) đúng!!
Vậy ta có đpcm.
*Nhận xét
1)Vì trình bày tương đối kĩ lưỡng nên thấy lời giải trên tương đối dài,thực ra ý chứng minh chính rất hiếm,điểm sáng của lời giải hình như chỉ có bước lập luận là đáng giá.
Còn các bước chứng minh phía sau chỉ thuần túy về mặt kĩ thuật và không có gì đặt biệt lắm.
2)Sở dĩ đánh giá trôi chảy như vậy một phần lớn là nhờ bài đây tương đối yếu.Nếu những BĐT mạnh thực sự và có chứa căn quả thật rất khó sử lí.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:24

[Bùi Việt Anh]

Bài này chìm trên DDTH và Mathnfriend.net khá lâu rồi giờ kimluan lại lôi nó lên .Bài toán ban đầu thì lỏng nên có thể giải nhẹ nhàng thôi chứ dùng S.O.S hay đạo hàm thì trâu quá.Bài này thì khó kinh khủng nè:
Tìm hằng số k tốt nhất sao cho :
$ \sqrt{ \dfrac{x+y}{z} + \dfrac{x+z}{y} + \dfrac{z+y}{x} } + k \dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} \geq \sqrt{6} +k$Với k=1 thì ta có bài toán ban đầu
Với k=2 thì đã có 2 lời giải 1 của Anh Cuong với phương pháp ABC,1 của tôi với phương pháp p,R,r.
Với k = 2,1 (vẫn có thể làm chặt hơn) thì cả 2 phương pháp trên vẫn đúng nhưng e rằng cả S.O.S của Hùng và "chia để trị" của anh hatucdao,kimluan đều bó tay.
Mỗi phương pháp có cái đẹp riêng của nó nên Hùng cùng ko nên ác cảm với BDT hình hay " chia để trị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-05-2009 - 15:24