Đến nội dung

Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 4: ALPHA - GAMMA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 49 trả lời

#41
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Ok ; I see :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#42
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Mong đội Alpha nhanh công bố đáp án. Mình rất mong chờ lời giải cho bài 2.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#43
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Thành thật xin lỗi các bạn, bài 2 do Phúc đề xuất, Phúc đã gửi link đáp án nhưng nó bị die. Mình đang liên lạc lại với phúc

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#44
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Alpha sao lâu công bố đáp án thế nhỉ :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#45
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Công bố đáp án cho anh PSW khỏi sốt ruột :D
Đáp án bài 2-THCS của đội ALPHA:
Gọi I là trung điểm BC,dựng $AH \perp BC(H \in BC)$.Đặt $\widehat{HMA}=\alpha\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2} \right)$.Qua O,kẻ $OP \perp AH$,suy ra $\widehat{OAP}=\alpha$.
Ta có:
$$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=AH.IC=R\sin{\alpha}\sqrt{OC^2-OI^2}=R\sin{\alpha}\sqrt{R^2-HP^2}$$
Lại có:
$$HP=AH-AP=R(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})$$.
Suy ra:
$$S_{ABC}=R\sin{\alpha}\sqrt{R^2-R^2(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2}=R^2\sqrt{2}.\sqrt{\sin^3{\alpha}\cos{\alpha}}$$
Theo BĐT AM-GM,ta có:
$$\sin^3{\alpha}\cos{\alpha}=\sqrt{\sin^6{\alpha}\cos^2{\alpha}}=\sqrt{27\left(\dfrac{\sin^2{\alpha}}{3} \right)^3.\cos^2{\alpha}} \overset{AM-GM}{\le}\sqrt{27.\left(\dfrac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{4} \right)^4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{16}$$
Do đó:
$$S_{ABC}=R^2\sqrt{2}.\sqrt{\sin^3{\alpha}\cos{\alpha}} \le \dfrac{\sqrt[4]{27}}{2\sqrt{2}}R^2$$.
Vậy $S_{ABC-\max}$ khi và chỉ khi $\dfrac{\sin^2{\alpha}}{3}=\cos^2{\alpha}$ hay $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$.
P/s:Bài 1 thì Hân giải hoàn toàn chuẩn rồi :D.Bài 6 thì để em post sau nhé PSW.:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-12-2011 - 11:20

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#46
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Lời giải của Phúc cho bài 2 nhìn còn chóng mặt hơn lời giải 1 của mình. (Nó có phù hợp với cấp THCS không?)

Có vẻ như lời giải sau đây không được THCS lắm! (hxthanh Gama xin giải câu 2 Alpha)
$\boxed{\text{ Lời giải 1 - Lượng Giác}}$



Ký hiệu như trong hình vẽ, ta có:

$\widehat{ACB}=\beta$ (cùng chắn cung AB)
Do đó $\triangle{ABM}\sim \triangle{CAM}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{AM}{MC}$

Theo định lý sin ta có: $AB=2R\sin{\beta};\;AC=2R\sin{(\alpha+\beta)};\;BC=2R\sin{(180^{\circ}-(\alpha+2\beta))}=2R\sin{(\alpha+2\beta)}$

Từ đẳng thức trên suy ra:

$\dfrac{MC}{R}=\dfrac{BC+BM}{R}=2\sin{(\alpha+2\beta)}+\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{R}{BM}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\beta}}$

$\Rightarrow 2\sin{(\alpha+2\beta)}+\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\beta}}$

$\Rightarrow 2\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta)}\sin{(\alpha+2\beta)}+\sin^2{\beta}-\sin^2{(\alpha+\beta)}=0$
$\Rightarrow \sin{(\alpha+2\beta)}\left(\sin{\alpha}-\cos{\alpha}-\cos{(\alpha+2\beta)}\right)=0$
$\Rightarrow \cos{(\alpha+2\beta)}=\sin{\alpha}-\cos{\alpha}$
$\Rightarrow \sin{(\alpha+2\beta)}=\sqrt{\sin{2\alpha}}$

Do đó ta có:
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}R\sin{\alpha}.2R\sqrt{\sin{2\alpha}}=R^2.\dfrac{\sqrt{2\tan^3{\alpha}}}{\tan^2{\alpha}+1}$

Với mọi k>0 ta có BĐT: $\dfrac{1}{9}(k-\sqrt{3})^2(9k^2+2\sqrt{3}k+3)\ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{2k^3}{(k^2+1)^2}\le \dfrac{\sqrt{27}}{8}$

Vậy $\max{(S_{ABC})}=R^2.\dfrac{\sqrt[4]{108}}{4}$ Dấu bằng đạt được tại $\tan{\alpha}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha=60^{\circ}$
________________________
Vẫn chưa có lời giải nào thực sự THCS :(



#47
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Lời giải của Phúc cho bài 2 nhìn còn chóng mặt hơn lời giải 1 của mình. (Nó có phù hợp với cấp THCS không?)

Thât lòng mà nói thì bài 2 này chỉ đơn giản là cân bằng hệ số của BĐT AM-GM mà thôi,dựa trên đẳng thức hiển nhiên:$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1,\forall x$.Em nghĩ bài này quá hợp với THCS ấy chứ.:D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#48
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Hôm nay post nốt bài giải cho câu 6 :D
Đáp án bài 6-Olympiad của đội ALPHA:
Gọi $d_{n};h_{n}$ tương ứng là đường kính đáy và đường sinh của hình trụ $T_{n}$.Dễ dàng có các hệ thức sau:
$$d_{n+1}=h_{n}$$
$$h^2_{n+1}=d^2_{n}-d^2_{n+1}$$
Suy ra:
$$h^2_{n+1}=d^2_{n}-h^2_{n}$$
Vậy với mỗi $n$ để tồn tại hình trụ $T_{n+1}$ nội tiếp ngang hình trụ $T_{n}$ thì $d^2_{n}-h^2_{n}>0$ hay $\dfrac{d^2_{n}}{h^2_{n}}>1$
Xét dãy $\{a_n \}$ trong đó $a_n=\dfrac{d^2_{n}}{h^2_{n}}$
Có:
$$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{h^2_{n+1}}{d^2_{n+1}}=\dfrac{d^2_{n}-h^2_{n}}{h^2_{n}}=a_n-1$$
Suy ra:$a_n=1+\dfrac{1}{a_{n+1}},\forall n$
Vì hàm số $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$ là hàm nghịch biến trên $(0;+\infty)$ nên:
$$a_n>1 \leftrightarrow f(a_n)<f(1) \leftrightarrow a_{n-1}<f(1) \leftrightarrow f(a_{n-2})>f(f(1)) \leftrightarrow a_{n-2}>f(f(1))....(*)$$
Đặt $b_1=1;b_2=f(1);b_3=f(f(1))...$
Từ (*) suy ra:
Nếu $n$ lẻ thì $ a_n>1 \leftrightarrow a_1>b_{n}$
Nếu $n$ chẵn thì $ a_n>1 \leftrightarrow a_1<b_{n}$
Vậy $a_n>1,\forall n \leftrightarrow b_{2n+1}<a_1<b_{2m}(\forall m,n \in \mathbb{N})$
Xét hàm số $g(x)=f(f(x))=2-\dfrac{1}{x+1}$ là hàm đồng biến trên $(0;+\infty)$.Vì $b_1=1<\dfrac{3}{2}=b_3 \rightarrow b_5=g(b_3)>g(b_1)=b_3...$ nên $b_1;b_3;b_5;...$ là dãy tăng.Tương tự như vậy thì $b_2;b_4;b_6...$ là dãy giảm.
Vì $f\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b_{n}>1,\forall n$ nên ta có:
$$\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_{n} \right|=\left|f\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)-f(b_{n-1}) \right|=\left|\dfrac{1}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}-\dfrac{1}{b_{n-1}} \right|$$
$$=\dfrac{\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_{n-1} \right|}{b_{n-1}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)}<\dfrac{\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_{n-1} \right|}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}<....<\dfrac{\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_1 \right|}{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}}$$
Dễ dàng thấy rằng:
$$\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}}=0$$
$$\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_1 \right|=const$$
Nên ta có:
$$\lim_{n \to +\infty}b_{n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Vậy :
$$b_{2n+1}<a_1<b_{2m}(\forall m,n \in \mathbb{N}) \leftrightarrow a_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Như vậy:$T_1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi $\dfrac{d_1}{h_1}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-12-2011 - 18:25

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#49
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Trận này như vậy là chấm xong ; ban tổ chức vui lòng tổng hợp và xếp hạng các đội sau lượt đi :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#50
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
BTC tổng hợp kết quả: GAMMA 32 - 25 ALPHA

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh