Định lí Vi-et đảo:
Nếu tồn tại hai số x, y trong đó:
$\left\{\begin{matrix} x+y=S\\ xy=P\\ \end{matrix}\right.$
thì x, y là nghiệm của pt ẩn $t$:
$t^{2}-St+P=0$
Một số VD:
VD1: Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=25\\ xy=12\\ \end{matrix}\right.$
Giải:
HPT tương đương với
$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-2xy=25\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-24=25\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=49\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 7\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
Đến đây dùng Viet đảo:
Nếu
$\left\{\begin{matrix} x+y=7\\ xy=12\\ \end{matrix}\right.$
thì x, y là nghiệm của:\[{t^2} - 7t + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3 \\ t = 4 \\ \end{array} \right.\]
Vậy HPT có 4 nghiệm $(x;y)=(3;4);(4;3);(-3;-4);(-4;-3)$
VD2: Giải HPT:
$\left\{\begin{matrix} 5(x+y)+2xy=-19\\ x+y+3xy=-35 \end{matrix}\right.$
Giải:
Đặt $S=x+y$, $P=xy$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} 5S+2P=-19\\ S+3P=-35 \end{matrix}\right.$
Giải hệ ta có: $S=1; P=-12 $
Theo viet đảo thì x, y là nghiệm của PT:
\[{t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3 \\ t = - 4 \\ \end{array} \right.\]
Vậy HPT có 2 nghiệm $(x;y)=(-3;4);(4;-3)$
Chú ý: Có những HPT không đối xứng có thể đưa về HPT đối xứng để giải
VD3: Tìm $m$ để HPT
$\left\{\begin{matrix} x-y=2\\ x^{3}-y^{3}=m\\ \end{matrix}\right.$
có nghiệm
Giải:
Đặt $u=-y$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} x+u=2\\ x^{3}+u^{3}=m\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+u=2\\ (x+u)^{3}-3xu(x+u)=m\\ \end{matrix}\right.$
Đặt $S=x+u; P=xu$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} S=2\\ S^{3}-3PS=m\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=2\\ P=\dfrac{8-m}{6}\\ \end{matrix}\right.$
Theo Viet đảo thì x, u là nghiệm của pt: $t^{2}-2t+\dfrac{8-m}{6}=0$
PT có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta'\geq 0\Leftrightarrow 1-\dfrac{8-m}{6}\geq 0\Leftrightarrow m\geq 2$
Vậy $m\geq 2$ thì hpt có nghiệm
Nhận xét: phương pháp chung để giải các bài HPT trên là sử dụng định lí đảo Viet bằng cacsh biến đổi về hpt dạng: $\left\{\begin{matrix} x+y=S\\ xy=P\\ \end{matrix}\right.$ rồi giải pt $t^{2}-St+P=0$, từ đó xác đinh nghiệm của HPT ban đầu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 02-11-2011 - 20:27