Đến nội dung

Hình ảnh

[Chia sẻ] Giải HPT bằng Vi-ét đảo

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Minhnguyenquang75

Minhnguyenquang75

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 244 Bài viết
Các bài toán giải HPT chiếm một tỉ lệ lớn trong các kì thi và định lí Vi-ét đảo là 1 công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều HPT.

Định lí Vi-et đảo:
Nếu tồn tại hai số x, y trong đó:

$\left\{\begin{matrix} x+y=S\\ xy=P\\ \end{matrix}\right.$
thì x, y là nghiệm của pt ẩn $t$:
$t^{2}-St+P=0$
Một số VD:
VD1: Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=25\\ xy=12\\ \end{matrix}\right.$
Giải:
HPT tương đương với

$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-2xy=25\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-24=25\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=49\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 7\\ xy=12 \end{matrix}\right.$
Đến đây dùng Viet đảo:
Nếu
$\left\{\begin{matrix} x+y=7\\ xy=12\\ \end{matrix}\right.$
thì x, y là nghiệm của:\[{t^2} - 7t + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3 \\ t = 4 \\ \end{array} \right.\]
Vậy HPT có 4 nghiệm $(x;y)=(3;4);(4;3);(-3;-4);(-4;-3)$
VD2: Giải HPT:
$\left\{\begin{matrix} 5(x+y)+2xy=-19\\ x+y+3xy=-35 \end{matrix}\right.$
Giải:
Đặt $S=x+y$, $P=xy$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} 5S+2P=-19\\ S+3P=-35 \end{matrix}\right.$
Giải hệ ta có: $S=1; P=-12 $
Theo viet đảo thì x, y là nghiệm của PT:
\[{t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3 \\ t = - 4 \\ \end{array} \right.\]
Vậy HPT có 2 nghiệm $(x;y)=(-3;4);(4;-3)$
Chú ý: Có những HPT không đối xứng có thể đưa về HPT đối xứng để giải
VD3: Tìm $m$ để HPT

$\left\{\begin{matrix} x-y=2\\ x^{3}-y^{3}=m\\ \end{matrix}\right.$
có nghiệm
Giải:
Đặt $u=-y$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} x+u=2\\ x^{3}+u^{3}=m\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+u=2\\ (x+u)^{3}-3xu(x+u)=m\\ \end{matrix}\right.$
Đặt $S=x+u; P=xu$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} S=2\\ S^{3}-3PS=m\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=2\\ P=\dfrac{8-m}{6}\\ \end{matrix}\right.$
Theo Viet đảo thì x, u là nghiệm của pt: $t^{2}-2t+\dfrac{8-m}{6}=0$
PT có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta'\geq 0\Leftrightarrow 1-\dfrac{8-m}{6}\geq 0\Leftrightarrow m\geq 2$
Vậy $m\geq 2$ thì hpt có nghiệm
Nhận xét: phương pháp chung để giải các bài HPT trên là sử dụng định lí đảo Viet bằng cacsh biến đổi về hpt dạng: $\left\{\begin{matrix} x+y=S\\ xy=P\\ \end{matrix}\right.$ rồi giải pt $t^{2}-St+P=0$, từ đó xác đinh nghiệm của HPT ban đầu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 02-11-2011 - 20:27


#2
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Bài viết trên rất hay đối với THCS. Nên cho một số ví dụ để áp dụng.
Có điều, bài viết vẫn bị gõ lỗi nhiều quá. Đề nghị tác giả sửa lại.

Chúng ta cần thật nhiều bài viết dạng như thế này. :tongue:

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh