Chủ đề này có 1 trả lời

[z0zLongBongz0z]

$Cho\ x,y,z\ thuộc\ [0,1].\ CMR$
$\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{zx+1}\leq\dfrac{5}{x+y+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 05-11-2011 - 22:30

[Crystal]

$Cho\ x,y,z\ thuộc\ [0,1].\ CMR$
$$\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{zx+1}\leq\dfrac{5}{x+y+z}$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $0 \le z \le y \le x \le 1$. Khi đó: $1 + yz \le 1 + zx \le 1 + xy$
Do đó ta có: $$\dfrac{1}{{xy + 1}} + \dfrac{1}{{yz + 1}} + \dfrac{1}{{zx + 1}} \le \dfrac{{x + y + z}}{{yz + 1}}$$
Mặt khác: $$\dfrac{{x + y + z}}{{yz + 1}} = \dfrac{{x - 1 - \left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) - yz}}{{yz + 1}} + 2$$
Nên từ giả thiết suy ra $$\dfrac{{x + y + z}}{{yz + 1}} \le 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{xy + 1}} + \dfrac{1}{{yz + 1}} + \dfrac{1}{{zx + 1}} \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Lại có: $$\left( {1 - \dfrac{{x + y}}{{xy + 1}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{{y + z}}{{yz + 1}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{{z + x}}{{zx + 1}}} \right) = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)}}{{xy + 1}} + \dfrac{{\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)}}{{yz + 1}} + \dfrac{{\left( {1 - z} \right)\left( {1 - x} \right)}}{{zx + 1}}$$
Kết hợp với giả thiết ta suy ra $$\dfrac{{x + y}}{{xy + 1}} + \dfrac{{y + z}}{{yz + 1}} + \dfrac{{z + x}}{{zx + 1}} \le 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được $$\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{{xy + 1}} + \dfrac{1}{{yz + 1}} + \dfrac{1}{{zx + 1}}} \right) \le 5 \Rightarrow \dfrac{1}{{xy + 1}} + \dfrac{1}{{yz + 1}} + \dfrac{1}{{zx + 1}} \le \dfrac{5}{{x + y + z}}$$
Ta có đpcm.