Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh dãy Cauchy thì hội tụ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Mitsuru

Mitsuru

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 04-11-2011 - 22:12

Chào mọi người :), mình là thành viên mới của diễn đàn. Hôm nay học thầy mình bảo chứng minh “Dãy Cauchy thì hội tụ”. Mình làm và tìm khắp google rồi mà vẫn chưa ra :(, mọi người giúp mình với!

Và cho mình hỏi có ai có tài liệu (ebook, sách…) về dãy ứng dụng tính chất của dãy Cauchy để tìm giới hạn của dãy số không? Cho mình xin link với.

Cảm ơn cả nhà nhiều :X

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mitsuru: 04-11-2011 - 22:14

Đi có thể không đến.... Nhưng không đi thì sẽ KHÔNG BAO GIỜ đến!


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 06-11-2011 - 12:53

Chứng minh “Dãy Cauchy thì hội tụ”.



Giả sử $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy. Ta có dãy Cauchy là dãy giới nội. Theo định lý Bolzano - Weierstrass, có thể trích ra một dãy con hội tụ $\left\{ {{x_{{n_k}}}} \right\}$.
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = L$. Ta sẽ chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$.
Thật vậy, ta có:$$\left| {{x_n} - L} \right| \le \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| + \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right|$$
Vì ${x_{{n_k}}} \to L$ nên với mọi $\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists {u_1} \in {N^*}\,\,:\,\,{n_k} \ge {u_1} \Rightarrow \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$
Vì $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy nên $\exists {u_2} \in {N^*}\,\,:\,\,n \ge {u_2},{n_k} \ge {u_2} \Rightarrow \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$.
Đặt ${u_0} = m{\rm{ax}}\left( {{u_1},{u_2}} \right)$. Ta có với $n \ge {u_0}$: $\left| {{x_n} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2} + \dfrac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$ tức dãy Cauchy hội tụ.
---------------------------------
Chú ý: Mọi dãy hội tụ là Cauchy còn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ.
Đối với dãy số thực (ta đang xét) thì có thể xem dãy Cauchy và dãy hội tụ là tương đương nhau nhưng khi học về Giải tích hàm thì sẽ có những dãy là Cauchy nhưng không hội tụ.

#3 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-12-2011 - 12:55

Cho em hỏi định nghĩa chính xác của dãy Cauchy là gì ạ?

#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 19-12-2011 - 13:01

Cho em hỏi định nghĩa chính xác của dãy Cauchy là gì ạ?


Định nghĩa dãy Cauchy: Dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi $\varepsilon > 0$ cho trước, tìm được $n_{0}\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho khi $m \geqslant {n_0}$ và $n \geqslant {n_0}$ ta có $\left| {{x_m} - {x_n}} \right| < \varepsilon $

#5 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 409 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 09-09-2018 - 20:09

Giả sử $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy. Ta có dãy Cauchy là dãy giới nội. Theo định lý Bolzano - Weierstrass, có thể trích ra một dãy con hội tụ $\left\{ {{x_{{n_k}}}} \right\}$.
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = L$. Ta sẽ chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$.
Thật vậy, ta có:$$\left| {{x_n} - L} \right| \le \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| + \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right|$$
Vì ${x_{{n_k}}} \to L$ nên với mọi $\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists {u_1} \in {N^*}\,\,:\,\,{n_k} \ge {u_1} \Rightarrow \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$
Vì $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy nên $\exists {u_2} \in {N^*}\,\,:\,\,n \ge {u_2},{n_k} \ge {u_2} \Rightarrow \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$.
Đặt ${u_0} = m{\rm{ax}}\left( {{u_1},{u_2}} \right)$. Ta có với $n \ge {u_0}$: $\left| {{x_n} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2} + \dfrac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$ tức dãy Cauchy hội tụ.
---------------------------------
Chú ý: Mọi dãy hội tụ là Cauchy còn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ.
Đối với dãy số thực (ta đang xét) thì có thể xem dãy Cauchy và dãy hội tụ là tương đương nhau nhưng khi học về Giải tích hàm thì sẽ có những dãy là Cauchy nhưng không hội tụ.

Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.


Mr. Cancer


#6 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 10-09-2018 - 01:56

Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

 

Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.


Đời người là một hành trình...


#7 dinhvan0402

dinhvan0402

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 29-09-2019 - 21:18

Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.

 

Bạn giải thích rõ câu nói này hộ mình với
Mình học toán thì học liên quan đến con số chứ bạn

Trước giờ mình nghĩ khi nói về dãy chúng ta hiểu ngầm với nhau là dãy số luôn



#8 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 29-09-2019 - 22:47

Bạn giải thích rõ câu nói này hộ mình với
Mình học toán thì học liên quan đến con số chứ bạn

Trước giờ mình nghĩ khi nói về dãy chúng ta hiểu ngầm với nhau là dãy số luôn

 

Chừng nào bạn học tói mức như Crystal đề cập thì tự khắc giải quyết được vấn đề này thôi!


Đời người là một hành trình...


#9 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2020 - 07:57

Bạn giải thích rõ câu nói này hộ mình với
Mình học toán thì học liên quan đến con số chứ bạn

Trước giờ mình nghĩ khi nói về dãy chúng ta hiểu ngầm với nhau là dãy số luôn

 

Thay vì dãy số, ta có thể xét dãy hàm. Thí dụ như dãy các hàm $1,x,x^2,x^3,\dots$ trên đường thẳng thực. Trong trường hợp này, ta có thể viết là $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ với $f_i(x)=x^i$.

 

Khi xét nhiều hàm, ta có thể sử dụng khái niệm không gian hàm, với mỗi điểm là một hàm số (thay vì là một số). Trên các không gian hàm này ta có thể xây dựng các khái niệm khoảng cách. Từ đó có thể nói đến các dãy Cauchy trên các không gian hàm.

 

Thí dụ xét không gian các hàm từ tập $\{0,1\}$ vào $\mathbb{R}$, với khoảng cách $d(f,g)=f(1)^2+f(2)^2$. Không gian hàm này, không gì khác, chính là mặt phẳng $2$ chiều.

 

Nếu miền xác định không hữu hạn mà là vô hạn thì phức tạp hơn. Để định nghĩa khoảng cách sẽ cần dùng $\sup,\int$, vân vân.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh