Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh dãy Cauchy thì hội tụ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Mitsuru

Mitsuru

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
Chào mọi người :), mình là thành viên mới của diễn đàn. Hôm nay học thầy mình bảo chứng minh “Dãy Cauchy thì hội tụ”. Mình làm và tìm khắp google rồi mà vẫn chưa ra :(, mọi người giúp mình với!

Và cho mình hỏi có ai có tài liệu (ebook, sách…) về dãy ứng dụng tính chất của dãy Cauchy để tìm giới hạn của dãy số không? Cho mình xin link với.

Cảm ơn cả nhà nhiều :X

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mitsuru: 04-11-2011 - 22:14

Đi có thể không đến.... Nhưng không đi thì sẽ KHÔNG BAO GIỜ đến!


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Chứng minh “Dãy Cauchy thì hội tụ”.



Giả sử $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy. Ta có dãy Cauchy là dãy giới nội. Theo định lý Bolzano - Weierstrass, có thể trích ra một dãy con hội tụ $\left\{ {{x_{{n_k}}}} \right\}$.
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = L$. Ta sẽ chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$.
Thật vậy, ta có:$$\left| {{x_n} - L} \right| \le \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| + \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right|$$
Vì ${x_{{n_k}}} \to L$ nên với mọi $\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists {u_1} \in {N^*}\,\,:\,\,{n_k} \ge {u_1} \Rightarrow \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$
Vì $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy nên $\exists {u_2} \in {N^*}\,\,:\,\,n \ge {u_2},{n_k} \ge {u_2} \Rightarrow \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$.
Đặt ${u_0} = m{\rm{ax}}\left( {{u_1},{u_2}} \right)$. Ta có với $n \ge {u_0}$: $\left| {{x_n} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2} + \dfrac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$ tức dãy Cauchy hội tụ.
---------------------------------
Chú ý: Mọi dãy hội tụ là Cauchy còn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ.
Đối với dãy số thực (ta đang xét) thì có thể xem dãy Cauchy và dãy hội tụ là tương đương nhau nhưng khi học về Giải tích hàm thì sẽ có những dãy là Cauchy nhưng không hội tụ.

#3
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
Cho em hỏi định nghĩa chính xác của dãy Cauchy là gì ạ?

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Cho em hỏi định nghĩa chính xác của dãy Cauchy là gì ạ?


Định nghĩa dãy Cauchy: Dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi $\varepsilon > 0$ cho trước, tìm được $n_{0}\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho khi $m \geqslant {n_0}$ và $n \geqslant {n_0}$ ta có $\left| {{x_m} - {x_n}} \right| < \varepsilon $

#5
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Giả sử $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy. Ta có dãy Cauchy là dãy giới nội. Theo định lý Bolzano - Weierstrass, có thể trích ra một dãy con hội tụ $\left\{ {{x_{{n_k}}}} \right\}$.
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = L$. Ta sẽ chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$.
Thật vậy, ta có:$$\left| {{x_n} - L} \right| \le \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| + \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right|$$
Vì ${x_{{n_k}}} \to L$ nên với mọi $\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists {u_1} \in {N^*}\,\,:\,\,{n_k} \ge {u_1} \Rightarrow \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$
Vì $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy nên $\exists {u_2} \in {N^*}\,\,:\,\,n \ge {u_2},{n_k} \ge {u_2} \Rightarrow \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$.
Đặt ${u_0} = m{\rm{ax}}\left( {{u_1},{u_2}} \right)$. Ta có với $n \ge {u_0}$: $\left| {{x_n} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2} + \dfrac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$ tức dãy Cauchy hội tụ.
---------------------------------
Chú ý: Mọi dãy hội tụ là Cauchy còn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ.
Đối với dãy số thực (ta đang xét) thì có thể xem dãy Cauchy và dãy hội tụ là tương đương nhau nhưng khi học về Giải tích hàm thì sẽ có những dãy là Cauchy nhưng không hội tụ.

Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.


Alpha $\alpha$ 


#6
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

 

Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh