Chủ đề này có 8 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Cho $a,b,c > 0$ . Tìm GTLN :

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}+\dfrac{9c}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 05-11-2011 - 22:34

[Nguyễn Hữu Huy]

Cho $a,b,c > 0$ . Tìm GTLN :

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}+\dfrac{9c}{a+b}$

Ta có $\dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 \ge (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b}) \ge 18$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 06-11-2011 - 07:17

[big_way]

Bài này tìm min:
Đặt $ b+c=x,c+a=y,a+b=z$
Từ đây ta có $ a=\dfrac{y-x+z}{2}$, $ b=\dfrac{x-y+z}{2}$, $c=\dfrac{y-z+x}{2}$.
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}+\dfrac{9c}{a+b}=\dfrac{y-x+z}{2x}+\dfrac{4.(x-y+z)}{2y}+\dfrac{9.(y-z+x)}{2z}$
$=(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y})+(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z})+(\dfrac{2z}{y}+\dfrac{9y}{2z})-\dfrac{1}{2}-2-\dfrac{9}{2} \ge ...$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Ta có $\dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 \ge (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b}) \ge (1 + 2 +3) ^2 = 36$

Bạn làm nhầm rồi.Chỗ này là
$\dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 \ge (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b}) \ge \dfrac{1}{2}(1 + 2 + 3)^2 =18$

[phuonganh_lms]

Dấu = xảy ra thế nào vậy mọi người???

[kuma]

Lời giải nhé:

$LHS + 14 = \dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 = (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})$
$= \dfrac{1}{2}(a + b + b + c +c +a)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})\ge \dfrac{1}{2}(1 + 2 + 3)^2 =18$

$\Rightarrow LHS \ge 4$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $b+c=1, a+c=2, a+b=3$ hay $a=2,b=1,c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kuma: 05-11-2011 - 22:38

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Lời giải nhé:

$LHS + 14 = \dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 = (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})$
$= \dfrac{1}{2}(a + b + b + c +c +a)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})\ge \dfrac{1}{2}(1 + 2 + 3)^2 =18$

$\Rightarrow LHS \ge 4$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $b+c=1, a+c=2, a+b=3$ hay $a=2,b=1,c=0$

Min thì mình làm đc rồi , nhưng mà đề bài nó bảo tìm max. Và dấu bằng xảy ra tại $a=2b>0 , c=0$ chứ k hẳn là như của bạn

[big_way]

Lời giải nhé:

$LHS + 14 = \dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 = (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})$
$= \dfrac{1}{2}(a + b + b + c +c +a)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})\ge \dfrac{1}{2}(1 + 2 + 3)^2 =18$

$\Rightarrow LHS \ge 4$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $b+c=1, a+c=2, a+b=3$ hay $a=2,b=1,c=0$

nhưng mà đề bài bảo là các số dương thì làm sao c = 0 được

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

nhưng mà đề bài bảo là các số dương thì làm sao c = 0 được

Mình nhầm , là kô âm đấy