Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 11 Bình chọn

Vài phương pháp giải phương trình vô tỉ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 31 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-08-2011 - 09:28

*
Phổ biến

Đây là bài báo của tạp chí THTT mà tôi đã tìm được từ những năm 1976 nên có phần hơi khác so với hiện nay, mong các bạn có thể bổ sung và góp ý.

Khi học phương trình vô tỉ ở lớp 8, trong vấn đề phương trình quy về bậc 2 các bạn đã làm quen với một loại phương trình mới,hiểu rõ hơn về biến đổi tương đương, được củng cố về phương trình bậc hai, ôn lại khái niệm căn số học và biến đổi căn thức, rèn luyện tính toán bằng số. Các bạn, ngay ở lớp 8, đã biết các phương pháp như: cô lập căn thức, nâng lên lũy thừa, nhân với nhân tử liên hợp, thông qua việc giải các bài tập trong sgk Đại số lớp 8, các bạn biết thêm được một số phương pháp nữa là phương pháp đánh giá hai vế. Sau đây xin trình bày để các bạn biết được một vài phương pháp để giải phương trình vô tỉ nữa.

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

$15x-2x^2-5=\sqrt{2x^2-15x+11}$


Phương trình trên tương đương với

$(2x^2-15x+5)+\sqrt{2x^2-15x+11}=0$


Ta đặt $t=\sqrt{2x^2-15x+11}$ (ở đây vì $t$ là giá trị căn số học nên $t \ge 0$). Ta có $t^2+t-6=0 \Rightarrow t_1=2; t_2=-3$ (loại).

Với $t=2$, ta có:

$\sqrt{2x^2-15x+11}=2$
$2x^2-15x+7=0$
$x_1=7;x_2=1/2$.


Sau khi thử nghiệm ta thấy $x_1=7$ và $x_2=1/2$ đúng là nghiệm của phương trình đã cho.

Nếu không dùng phương pháp đặt ẩnn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và phải giải một phương trình bậc 4.

Ví dụ 2: Giải phương trình

$\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{7+x+6\sqrt{x-2}}=2$


Ta có $\sqrt{(x-2)+2\sqrt{x-2}+1}+\sqrt{(x-2)+2.3\sqrt{x-2}+9}=2$.
Đặt $t=\sqrt{x-2}(t \ge 0)$, ta sẽ viết được:

$\sqrt{t^2+2t+1}+\sqrt{t^2+6t+9}=2$
$\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+3)^2}=2$


Ở đây, vì $t$ dương nên $t+1$ và $t+3$ cũng đều dương, và ta có:

$(t+1)+(t+3)=2 \Rightarrow t=-1$


Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. Phương pháp phản chứng

Các bạn đã biết phương pháp phản chứng ngay từ khi học lớp 6. Dùng phương pháp phản chứng để giải phương trình vô tỉ nhiều khi khá tốt. Chẳng hạn ta có thể giải phương trình đã cho trong ví dụ 2 ở trên bằng phương pháp phản chứng.

Đầu tiên, ta thấy, nếu phương trình có nghiệm là $x_0$ thì $x_0 \ge 2$ để cho $x_0-2 \ge 0$ (số dưới căn bậc hai).
Ta có:

$\sqrt{x_0-1+2\sqrt{x_0-2}}+\sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}} > \sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}}>\sqrt{7}>2$

Điều này trở nên vô lí, vì nếu $x_0$ là nghiệm thì vế trái của phương trình phải bằng vế phải. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Phương pháp hệ

Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng

$\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} =k \ \ \ \ \ \ \ (1)$


Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây:

$\left ( \sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} \right )^2=k^2=\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d} \right )^2+\left ( a-c \right )\left ( \dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c} \right ) \ \ \ \ \ \ \ (2)$


Như vậy, việc giải $(1)$ ta được đưa đến việc giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax+b} \ \pm \sqrt{cx+d}=k & & \\ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d}=l & & \end{matrix}\right.$


Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$. Trong thức hành, khi đã quen thì việc thành lập $(2)$ khá nhanh gọn.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{2x-1}=4$.

Phân tích $\left ( \sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{x+3} \right )^2=\left (\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{2}.\sqrt{x+3} \right )^2-3,5=16.$

Từ đó ta viết được:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \sqrt{2}.\sqrt{x+3}=\sqrt{19,5}.$


Sau khi nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$, ta có:

$\sqrt{2x-1} \ +\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{x+3}=\sqrt{39}$
$4+ \ \sqrt{x+3}= \sqrt{39} \Rightarrow x=(52-8\sqrt{39})$.


Thử lại phương trình đã cho, ta có $x=(52-8\sqrt{39})$ là nghiệm.

Ngoài ra, phương trình đã cho không có nghiệm nào khác vì

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}\ +\sqrt{2}.\sqrt{x+3}=-\sqrt{19,5}$


là phương trình vô nghiệm (tổng của hai số dương không thể nào là số âm).

Ví dụ 4: Giải phương trình: $\sqrt{4x-2} \ + \ \sqrt{4x+2}=4$.

Đây là trường hợp $a=c$, nên ta có:

$\dfrac{4}{\sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}}=4 \Rightarrow \sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}=1$


Cộng vế phương trình này với vế phương trình đã cho, ta có:

$2\sqrt{4x+2}=5 \rightarrow x= \dfrac{17}{16}.$


(Còn nữa...)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 12-08-2011 - 09:30

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa

Đã gửi 04-11-2011 - 21:12

Anh viết tiếp đi


Không biết là mình cũng có một số bộ sách viết về pt vô tỉ! Ko biết có viết được ko?

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng


#3 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 05-11-2011 - 15:40


Không biết là mình cũng có một số bộ sách viết về pt vô tỉ! Ko biết có viết được ko?

Bạn cứ viết cho tụi mình tham khảo
Sau đây mình xin đóng góp một bài phương trình áp dụng cách Toàn đã nói trên
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$10^{x}+6y=2011$$

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#4 Minhnguyenquang75

Minhnguyenquang75

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 244 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:EPU

Đã gửi 05-11-2011 - 18:55

Khi giải các phương trình mà ẩn nằm ở trong dấu căn thức (pt vô tỉ), một số bạn do chưa nắm vững kiến thức về căn thức và các phép biến đổi tương đương nên thường mắc một số sai lầm. Bài viết này mong muốn giúp các bạn, đặc biệt là các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào các trường THPT tránh được những sai lầm đó.

VD1: Giải pt: $(x+3)\sqrt{x-1}=0$
Lời giải SAI:
$((x+3)\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x+3=0\\ \sqrt{x-1}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-3 \\ x=1 \\ \end{array} \right.$
Nhận xét: Rõ ràng x=-3 không phải nghiệm của pt trên:
Chú ý: $A\sqrt{B}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B\geq 0\\ \left[ \begin{array}{l} A=0 \\ \sqrt{B}=0 \\ \end{array} \right.\\ \end{matrix}\right.$

VD2: Giải pt: $\sqrt{x+4}=x+2$
Lời giải SAI:
$\sqrt{x+4}=x+2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+4\geq 0\\ x+4=(x+2)^{2}\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -4\\ x+4=x^{2}+4x+4\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -4\\ x(x+3)=0\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -4\\ \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-3 \\ \end{array} \right.\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-3 \\ \end{array} \right.$
Nhận xét: Rõ ràng x=-3 không phải nghiệm của pt trên
Chú ý: $\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B\geq 0\\ A=B^{2}\\ \end{matrix}\right.$

VD3: Giải pt: $\sqrt{\dfrac{2x+5}{x-2}}=1$
Lời giải SAI:
$\sqrt{\dfrac{2x+5}{x-2}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2x+5}}{\sqrt{x-2}}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x+5}=\sqrt{x-2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\geq 0\\ 2x+5=x-2\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2\\ x=-7\\ \end{matrix}\right.$
Vậy pt vô nghiệm ?!
Nhận xét: PT đã cho thực nghiệm x=-7
Chú ý: $\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\left\{\begin{matrix} \dfrac{\sqrt{-A}}{\sqrt{-B}} (1)\\ \\ \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}(2)\\ \end{matrix}\right.$
Với $(1)$ khi $A\leq 0 ; B < 0$
Với $(2)$ khi $A\geq 0 ; B > 0$
Lời giải trên đã bỏ sót 1 trường hợp $A\leq 0 ; B < 0$ nên đã tìm thiếu nghiệm

VD4: Giải pt: $2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+16}$
Lời giải SAI:
$2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+16}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4(x-4)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0\\ x-1=2x-3\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x=2\\ \end{matrix}\right.$
Vậy pt có nghiệm x=2
Nhận xét: Ta thấy ngay x=2 không phải là nghiệm đúng của pt
Chú ý: $\sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{A}+\sqrt{C}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A\geq 0\\ \sqrt{B}=\sqrt{C}\\ \end{matrix}\right.$

VD5: Giải pt: $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x-2)}=2\sqrt{x(x-3)}$
Lời giải SAI:
pt tương đương với:
$\sqrt{x}.\sqrt{x-1}+\sqrt{x}.\sqrt{x-2}=2\sqrt{x}.\sqrt{x-3}$
$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}>2\sqrt{x-3}$
Căn thức có nghĩa <=> $x \geq 3$. Khi đó ta có:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}>\sqrt{x-3}\\ \sqrt{x-2}>\sqrt{x-3}\\ \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}> 2\sqrt{x-3}$
Vậy pt vô nghiệm ?!
Nhận xét: Có thể thấy ngay x=0 là nghiệm
Việc chia 2 vế cho $\sqrt{x}$ đã vô tình làm mất nghiệm này.
Chú ý: $\sqrt{AB}=\left\{\begin{matrix} \sqrt{A}.\sqrt{B}(1)\\ \sqrt{-A}.\sqrt{-B}(2)\\ \end{matrix}\right.$
$(1)-khi- A\geq 0; B\geq 0$
$(2)-khi-A\leq 0; B\leq 0$
Vì vậy lời giải trên phải bổ xung trường hợp $\sqrt{x}=0$ và trường hợp x<0.

[Còn tiếp...]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 05-11-2011 - 18:56


#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 08-11-2011 - 19:20

Bạn cứ viết cho tụi mình tham khảo
Sau đây mình xin đóng góp một bài phương trình áp dụng cách Toàn đã nói trên
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$10^{x}+6y=2011$$

Xin lỗi bạn, nhưng đây nói về Giải phương trình vô tỉ, không phải phương trình nghiệm nguyên, bạn ạ.
Bài của bạn nghĩ bạn nên chuyển sang box Số học.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 20-11-2011 - 16:16

Mình đã kết hợp topic "Vài phương pháp giải phương trình vô tỉ " của Toàn với topic "Những sai lầm khi giải phương trình vô tỉ " của anh Minhnguyenquang75

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#7 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 19-01-2013 - 22:01

Xin được đóng góp cho topic một phương pháp: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

* Cách 1. Tìm một nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Thí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$ $(1)$
Lời giải : Điều kiện $x<2$
Với phương trình dạng này ta thường dự đoán nghiệm là các giá trị của $x$ mà biểu thức dưới căn nhận giá trị là một số chính phương. Nhận thấy nghiệm của $(1)$ phải lớn hơn $1$. Bằng cách thử ta thấy rằng $(1)$ có một nghiệm là $x=\frac{3}{2}$. Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của $(1)$. Thật vậy:
- Với $x< \frac{3}{2}$ ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}<2$ và $\sqrt{\frac{8}{2-x}}<4$. Do đó $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}<6$
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( -\infty ;\frac{3}{2} \right )$
- Với $\frac{3}{2}<x<2$, chứng minh tương tự ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}>6$.
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( \frac{3}{2};2 \right )$
Vậy PT $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{2}$
* Muốn giải phương trình bằng cách đánh giá thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong đó.
* Cách 2. Đánh giá hai vế
Xét phương trình $f(x)=g(x)$ xác định trên $D$.
Nếu $\left\{\begin{matrix} f(x)\geq m(x)\\ g(x)\leq m(x) \end{matrix}\right. \forall x\in D$ thì $f(x)=g(x)$ với $x\in D\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=m(x)\\ g(x)=m(x) \end{matrix}\right.$
Trong cách đánh giá này ta thường dùng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá hai vế. Sau đây là một thí dụ minh họa.
Thí dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$ $(2)$
Lời giải: Điều kiện: $0\leq x\leq 2$. Đặt $t=(x-1)^2$, ta có $0\leq t\leq 1$. PT $(2)$ trở thành
$$\sqrt{1+\sqrt{1-t}}+\sqrt{1-\sqrt{1-t}}=2t^2(2t-1)$$
Nhận thấy: $2t-1\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được:
$$1+\sqrt{t}=2t^4(2t-1)^2\Leftrightarrow \frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}=2(2t-1)^2$$
Vì $t\leq 1$ nên $\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}\geq 2$. Từ đó suy ra $t=1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn ĐK).
Vậy nghiệm của phương trình $(2)$ là $x=2$.
Thí dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$ $(3)$
Lời giải: Điều kiện là $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Gọi vế trái và vế phải của $(3)$ thứ tự là $A$ và $B$.
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ cho hai bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$ ta có:
$$A\leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$. Do $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x>0$. Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có:
$$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}[5x^2-x+2(x^2+2)]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$ và $x=\frac{4}{3}$.
Vậy nghiệm của PT $(3)$ là $x=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 19-01-2013 - 22:05


#8 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 04-05-2013 - 21:00

Tiếp tục bài nữa với phương pháp mới 

Giải PT: $2\sqrt{x^{2}-x+2}-\sqrt{2\left ( x^{2} +2x\right )}= x-2$     $\left ( \ast \right )$

Giải: ĐKXĐ: $x\leq -2$ hoặc $x\geq 0$

Ta nhân  2 vế của $\left ( \ast \right )$ với liên hợp VT là $2\sqrt{x^{2}-x+2}+\sqrt{2\left ( x^{2}+2x \right )}$

Sau đó ta được phương trình $2\left ( x-2 \right )^{2}= \left ( x-2 \right )\left [ 2\sqrt{x^{2}-x+2}+\sqrt{x\left ( x^{2}+2x \right )} \right ]$

Ta xét 2 TH

$\oplus x-2=0 \Leftrightarrow x=2$

$\oplus 2\sqrt{x^{2}-x+2}+\sqrt{2\left ( x^{2}+2x \right )}= 2\left ( x-2 \right )$  $\Rightarrow$ PT vô nghiệm

Vậy PT có 1 ngiệm x=2

   

Đây là bài áp dụng GPT: $\sqrt{4x^{2}+5x+1}+3=2\sqrt{x^{2}-x+1}+9x$ 

Các bạn giải luon mấy câu này nha  

1)   $\left ( \sqrt{x-5}-\sqrt{x+2} \right )\left ( 1+\sqrt{x^{2}+7x+110} \right )=3$

2) $x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$

3) $\sqrt{x-4}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=1+\sqrt{x^{4}-1}$    .Câu này mình chịu

P/s: Không phải chỉ giải cách liên hợp đâu nha. Mình post vào đây luôn cho tiện


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannguyena1: 04-05-2013 - 21:12

:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#9 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 02-06-2013 - 21:47

 

2) $x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$

 

$*u=\sqrt{x+\frac{1}{4}} ; v=\sqrt{x+\frac{1}{2}+v} \rightarrow \left\{\begin{matrix} x+v=2\\ x+\frac{1}{4}=u^{2}\\ x+\frac{1}{2}+u=v^{2}\end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=2-x=2\tfrac{1}{4}-u^{2}\\ u^{2}=x+\frac{1}{4}\\ v^{2}=\left ( x+\frac{1}{4} \right )+\frac{1}{4}+u=u^{2}+u+\frac{1}{4}\end{matrix}\right. \leftrightarrow 2\tfrac{1}{4}-u^{2}=u^{2}+u+\frac{1}{4}\leftrightarrow 2u^{2}+u=0 \rightarrow u=0 \left ( u\geq 0 \right ) \leftrightarrow x=-\frac{1}{4}$

Thế này đúng k?! :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieuchu: 02-06-2013 - 21:51

:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#10 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 02-06-2013 - 22:53

 

   

Đây là bài áp dụng GPT: $\sqrt{4x^{2}+5x+1}+3=2\sqrt{x^{2}-x+1}+9x$ 

 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}+5x+1}=\sqrt{4x^{2}-4x+4}+9x-3$

Đặt $\sqrt{4x^{2}+5x+1}=a\geq 0;\sqrt{4x^{2}-4x+4}=b\geq 0\Rightarrow a^{2}-b^{2}=9x-3$

Do đó ta có $a=b+a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow (a-b)(1-a-b)=0\Leftrightarrow continue...$

 

Mấy câu 1,3 hình như đề sai, câu 3 đề thi HSG tỉnh Tiền Giang 2009-2010

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=1+\sqrt{x^{4}-1}$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#11 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 02-06-2013 - 22:58

Tiếp tục nhé ! Đây là bài mình sáng tác, mọi người xem thử nếu thấy sai chỗ nào thì cho mình  thêm ý kiến nhé !  :icon6:  :biggrin:

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 & & \\ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}} & & \end{matrix}\right.$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#12 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 03-06-2013 - 01:24

Tiếp tục nhé ! Đây là bài mình sáng tác, mọi người xem thử nếu thấy sai chỗ nào thì cho mình  thêm ý kiến nhé !  :icon6:  :biggrin:

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 & & \\ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}} & & \end{matrix}\right.$

Bạn có cách giải hay (bài bạn chế ra mà) thì post lên nhé!!
Mình có làm ra nhưng cách làm không hay...
Nghiệm: $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
:ukliam2: 


:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#13 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 03-06-2013 - 10:20

Bạn có cách giải hay (bài bạn chế ra mà) thì post lên nhé!!
Mình có làm ra nhưng cách làm không hay...
Nghiệm: $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
:ukliam2:

Hi vọng là không sai chỗ nào !  :icon13:

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho phương trình đầu :$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1\leq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng BĐT $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$ :

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8(x^{2}+y^{2})}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}} (x,y>0)$

Đó cũng là nghiệm của hệ đã cho


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#14 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 04-06-2013 - 00:26

Hi vọng là không sai chỗ nào !  :icon13:

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho phương trình đầu :$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1\leq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng BĐT $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$ :

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8(x^{2}+y^{2})}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}} (x,y>0)$

Đó cũng là nghiệm của hệ đã cho

Ừ nhỉ!!
Cách này hay hơn cách mình, lại đỡ vất vả hơn nữa *bài tự chế ra có khác*


:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#15 Kir

Kir

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2013 - 19:22

Tiếp tục nhé ! Đây là bài mình sáng tác, mọi người xem thử nếu thấy sai chỗ nào thì cho mình  thêm ý kiến nhé !  :icon6:  :biggrin:

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 & & \\ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}} & & \end{matrix}\right.$

$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+1-x^{2})(y^{2}+1-y^{2})}=1$

Bu-nhi-a theo 2 cặp số này có lẽ hay hơn


Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới


#16 tayphuong

tayphuong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hệ mặt trời
  • Sở thích:thích ra khỏi hệ mặt trời

Đã gửi 05-06-2013 - 22:52

xin đóng góp 1 con phương trình vô tỉ khá hóc :

$4\sqrt{1-x^{3}}=21-25\sqrt{1-x}$



#17 NgADg

NgADg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:CTK11, CQT, Bình Phước

Đã gửi 12-06-2013 - 11:41

Xin được đóng góp cho topic một phương pháp: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

* Cách 1. Tìm một nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Thí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$ $(1)$
Lời giải : Điều kiện $x<2$
Với phương trình dạng này ta thường dự đoán nghiệm là các giá trị của $x$ mà biểu thức dưới căn nhận giá trị là một số chính phương. Nhận thấy nghiệm của $(1)$ phải lớn hơn $1$. Bằng cách thử ta thấy rằng $(1)$ có một nghiệm là $x=\frac{3}{2}$. Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của $(1)$. Thật vậy:
- Với $x< \frac{3}{2}$ ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}<2$ và $\sqrt{\frac{8}{2-x}}<4$. Do đó $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}<6$
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( -\infty ;\frac{3}{2} \right )$
- Với $\frac{3}{2}<x<2$, chứng minh tương tự ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}>6$.
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( \frac{3}{2};2 \right )$
Vậy PT $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{2}$
* Muốn giải phương trình bằng cách đánh giá thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong đó.
* Cách 2. Đánh giá hai vế
Xét phương trình $f(x)=g(x)$ xác định trên $D$.
Nếu $\left\{\begin{matrix} f(x)\geq m(x)\\ g(x)\leq m(x) \end{matrix}\right. \forall x\in D$ thì $f(x)=g(x)$ với $x\in D\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=m(x)\\ g(x)=m(x) \end{matrix}\right.$
Trong cách đánh giá này ta thường dùng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá hai vế. Sau đây là một thí dụ minh họa.
Thí dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$ $(2)$
Lời giải: Điều kiện: $0\leq x\leq 2$. Đặt $t=(x-1)^2$, ta có $0\leq t\leq 1$. PT $(2)$ trở thành
$$\sqrt{1+\sqrt{1-t}}+\sqrt{1-\sqrt{1-t}}=2t^2(2t-1)$$
Nhận thấy: $2t-1\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được:
$$1+\sqrt{t}=2t^4(2t-1)^2\Leftrightarrow \frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}=2(2t-1)^2$$
Vì $t\leq 1$ nên $\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}\geq 2$. Từ đó suy ra $t=1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn ĐK).
Vậy nghiệm của phương trình $(2)$ là $x=2$.
Thí dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$ $(3)$
Lời giải: Điều kiện là $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Gọi vế trái và vế phải của $(3)$ thứ tự là $A$ và $B$.
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ cho hai bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$ ta có:
$$A\leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$. Do $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x>0$. Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có:
$$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}[5x^2-x+2(x^2+2)]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$ và $x=\frac{4}{3}$.
Vậy nghiệm của PT $(3)$ là $x=-1$

 

Bài 3 còn cách giải khác là ta nhân $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ qua rồi chuyển vế biến đổi thành 3 tổng bình phương  = 0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 12-06-2013 - 11:43

  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:   Tự hào là member CQT :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  

 
Trên con đường thành công , không có bước chân của kẻ lười biếng


#18 emhoctoan777

emhoctoan777

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:ghét học toán

Đã gửi 17-06-2013 - 23:19

 

3. Phương pháp hệ

Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng

$\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} =k \ \ \ \ \ \ \ (1)$


Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây:

$\left ( \sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} \right )^2=k^2=\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d} \right )^2+\left ( a-c \right )\left ( \dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c} \right ) \ \ \ \ \ \ \ (2)$


Như vậy, việc giải $(1)$ ta được đưa đến việc giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax+b} \ \pm \sqrt{cx+d}=k & & \\ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d}=l & & \end{matrix}\right.$


Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$. Trong thức hành, khi đã quen thì việc thành lập $(2)$ khá nhanh gọn.


 

cho mình hỏi nếu hệ số a hoặc c có 1 số < 0 thì phải làm sao  :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emhoctoan777: 17-06-2013 - 23:21

     :icon12: Ank gkéc mưa vì mưa làm Em khóc  :icon12: 
                                                                                                           
                                   :wub: 

              :icon12:  welcome to my facebook   :icon12:    

                                   http://www.facebook....uc.huy.75  0331


#19 cobetinhnghic96

cobetinhnghic96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích làm toán , lý ,hóa .Đam mê toán học ,muốn giao lưu học hỏi cùng các bạn trong 4rum về các bài toán
    Gmail: [email protected]

Đã gửi 26-06-2013 - 07:49

Các bạn làm đánh giá bài hệ này coi

$x\sqrt{8y-5}+y\sqrt{8x-5}=\sqrt[4]{24x^{2}+24y^{2}+96}$

$11x^{2}-6xy+3y^{2}=12-4y$


                            

                    


#20 quataovang123

quataovang123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 12-08-2013 - 14:31

hay thật, lần trước mò mãi không ra cách giải






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh