Chứng minh $5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n) \vdots 91 $ với $\forall n \in \mathbb{N}$.
Cm $5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n) \vdots 91 $ với $\forall n \in \mathbb{N}$
Bắt đầu bởi Zaraki, 06-11-2011 - 22:28
Kiểm tra lớp 10 Trần Phú Hải Phòng
#1
Đã gửi 06-11-2011 - 22:28
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 07-11-2011 - 00:04
$A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)=(25)^n+5^n-(18)^n-(12)^n$
Xét modulo $7$, ta có:
$(25)^n \equiv 4^n \pmod{7}$
$-(18)^n \equiv -4^n \pmod{7}$
$-(12)^n \equiv -5^n \pmod{7}$
$5^n \equiv 5^n \pmod{7}$
Cộng các vế đồng dư thức lại ta có: $A \equiv 0 \pmod{7}$
Xét modulo $13$, ta có:
$(25)^n \equiv (-1)^n \pmod{13}$
$-(18)^n \equiv -5^n \pmod{13}$
$-(12)^n \equiv -(-1)^n \pmod{13}$
$5^n \equiv 5^n \pmod{13}$
Cộng các vế đồng dư thức lại ta có: $A \equiv 0 \pmod{13}$
Vì $gcd(7,13)=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\;A \;\;\vdots\;\;7.13=91$
Xét modulo $7$, ta có:
$(25)^n \equiv 4^n \pmod{7}$
$-(18)^n \equiv -4^n \pmod{7}$
$-(12)^n \equiv -5^n \pmod{7}$
$5^n \equiv 5^n \pmod{7}$
Cộng các vế đồng dư thức lại ta có: $A \equiv 0 \pmod{7}$
Xét modulo $13$, ta có:
$(25)^n \equiv (-1)^n \pmod{13}$
$-(18)^n \equiv -5^n \pmod{13}$
$-(12)^n \equiv -(-1)^n \pmod{13}$
$5^n \equiv 5^n \pmod{13}$
Cộng các vế đồng dư thức lại ta có: $A \equiv 0 \pmod{13}$
Vì $gcd(7,13)=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\;A \;\;\vdots\;\;7.13=91$
- perfectstrong và Zaraki thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Kiểm tra lớp 10 Trần Phú, Hải Phòng
Toán Trung học Cơ sở →
Chuyên đề toán THCS →
ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2018-2019Bắt đầu bởi Arthur Pendragon, 17-06-2018 tài liệu, đề thi, hải phòng và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh