$P= a^2 +b^2 +c^2 +\dfrac{ab +bc +ca}{a^2b +b^2c +c^2a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-03-2012 - 21:32
Tìm Min(P): $P= a^2 +b^2 +c^2 +\dfrac{ab +bc +ca}{a^2b +b^2c +c^2a}$
Bắt đầu bởi cool hunter, 07-11-2011 - 21:17
#1
Đã gửi 07-11-2011 - 21:17
cool hunter
-
- Thành viên
-
- 544 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm Min(P):
$P= a^2 +b^2 +c^2 +\dfrac{ab +bc +ca}{a^2b +b^2c +c^2a}$
$P= a^2 +b^2 +c^2 +\dfrac{ab +bc +ca}{a^2b +b^2c +c^2a}$
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#2
Đã gửi 07-11-2011 - 21:47
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Bài giải:
Ta có: $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2$
mà $a^3+ab^2\geq 2a^2b$
$b^3+bc^2\geq 2b^2c$
$c^3+a^2c\geq 2c^2a$
=> $3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)>0$
$P\geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$
=> $P\geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Đặt t = $a^2+b^2+c^2$ ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
=> $P\geq t+\dfrac{9-t}{2t}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{9}{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2}\geq 3+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=4$
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Làm vậy đúng không nhỉ
Ta có: $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2$
mà $a^3+ab^2\geq 2a^2b$
$b^3+bc^2\geq 2b^2c$
$c^3+a^2c\geq 2c^2a$
=> $3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)>0$
$P\geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$
=> $P\geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Đặt t = $a^2+b^2+c^2$ ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
=> $P\geq t+\dfrac{9-t}{2t}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{9}{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2}\geq 3+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=4$
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Làm vậy đúng không nhỉ
- cool hunter, nguyencuong123, nghiemthanhbach và 1 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
