Chủ đề này có 1 trả lời

[belin_ht]

Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+bx+c$ với b,c thuộc Z
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa mãn $f(n)=f(2009).f(2010)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 08-11-2011 - 21:26
Tiêu đề gây nhiễu

[Crystal]

Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+bx+c$ với b,c thuộc Z
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa mãn $f(n)=f(2009).f(2010)$.

Ta có: $$f\left( {f\left( x \right) + x} \right) = {\left( {f\left( x \right) + x} \right)^2} + b\left( {f\left( x \right) + x} \right) + c = {\left( {{x^2} + bx + c + x} \right)^2} + b\left( {{x^2} + bx + c + x} \right) + c$$
$$ = {\left( {{x^2} + bx + c} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + bx + c} \right)x + {x^2} + b\left( {{x^2} + bx + c} \right) + bx + c$$
$$ = \left( {{x^2} + bx + c} \right)\left( {{x^2} + bx + c + 2x + b + 1} \right) = \left( {{x^2} + bx + c} \right)\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + b\left( {x + 1} \right) + c} \right)$$
$$ = f\left( x \right)f\left( {x + 1} \right)$$
Đặt $n = f\left( {2009} \right) + 2009$. Vì $b,c$ nguyên suy ra $f\left( x \right)$ là đa thức hệ số nguyên. Do đó $n$ là số nguyên.
Suy ra $$f\left( n \right) = f\left( {f\left( {2009} \right) + 2009} \right) = f\left( {2009} \right)f\left( {2010} \right)$$
Ta có đpcm.