Chủ đề này có 4 trả lời

[alex_hoang]

Đề bài :Có bao nhiêu tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá$2n$

[E. Galois]

Ta cần tìm bộ $(a,b,c)$ không kể thứ tự thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$i) 0 < a,b,c \leq 2n$
$ii) a+b>c,a+c>b,b+c>a$

Ta làm như sau:
Chọn số $i (i =1,2,...,2n)$ làm cạnh $a$. Khi đó, số bộ $(a,b,c)$ (có tính thứ tự) thỏa mãn điều kiện $b,c \leq a=i$ là $i^2$.
- Số bộ $(i,b,c)$ (có tính thứ tự) thỏa mãn: $b+c \leq a = i$ là: $C_1^2$, tạm quy ước rằng $C_1^2 = 0$,
- Số bộ $(i,b,c)$ thỏa mãn $b=c > \frac{a}{2} = \frac{i}{2}$ là $\left [ \frac{i+1}{2} \right ]$
Ở trên, hai bộ số $(i,b,c)$ và $(i,c,b)$ là 1 tam giác nhưng lại được tính 2 lần. Từ đó số tam giác có các cạnh không vượt quá $i$ là:
$$\frac{i^2 - C^2_i + \left [ \frac{i+1}{2} \right ]}{2}$$

Vậy số tam giác cần tìm là:
$$S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2n} \left (i^2 - C^2_i + \left [ \frac{i+1}{2} \right ] \right )$$
Ta có:
$$\sum_{i=1}^{2n} i^2 = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}$$
$$\sum_{i=1}^{2n} C^2_i =\sum_{i=1}^{2n} \frac{i(i-1)}{2}=\frac{n(4n^2-1)}{3}$$
$$\sum_{i=1}^{2n} \left [ \frac{i+1}{2} \right ] = 2\sum_{i=1}^{n} i = n(n+1)$$
Do đó:
$$S=\frac{1}{2}\left (\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{n(4n^2-1)}{3}+n(n+1) \right ) = \frac{4n^3+9n^2+5n}{6}$$

[E. Galois]

Bài toán, hãy viết chương trình trong Pascal để giải bài toán này

[gogo123]

Cho cái tổng quát: Số tam giác có 3 cạnh nguyên dương không vượt quá $n$ với:
$n=2k$ là $\frac{k(k-1)(4k-5)}{6}$
$n=2k+1$ là $\frac{k(k-1)(4k+1)}{6}$

[hxthanh]

Đóng góp một cách giải khác

 

Đầu tiên sắp xếp các cạnh của tam giác ta có $1\leq a\leq b\leq c\leq 2n\quad(1)$

 

Số bộ $(a,b,c)$ thỏa mãn $(1)$ là $\displaystyle A={2n+2\choose 3}=\frac{n(n+1)(8n+4)}{6}$

 

Số bộ $(a,b,c)$ như trên không phải là cạnh tam giác thì thỏa mãn $\begin{cases}a+b\leq c\leq 2n\\ 1\leq a\leq b\end{cases}\quad(2)$

 

Dễ thấy số bộ thỏa mãn $\begin{cases}a+b= k\\ 1\leq a\leq b\end{cases}$ là $\left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor$

 

Do đó số bộ thỏa mãn $(2)$ là

\begin{align*}B&=\sum_{c=1}^{2n} \sum_{k=1}^{c} \left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor\\ &=\sum_{c=1}^{2n}\left\lfloor\dfrac{c^2}{4}\right\rfloor\\ &=\sum_{2\leq c=2k\le 2n} k^2+\sum_{1\leq c=2k+1\le 2n-1} (k^2+k)\\ &=\dfrac{n(n+1)(4n-1)}{6}\end{align*}

 

Từ đó ta có số bộ tam giác tạo được là $\quad A-B=\dfrac{n(n+1)(4n+5)}{6}$