Chủ đề này có 4 trả lời

[Crystal]

Bài 1: Đặt $f\left ( n \right )=\left ( n^{2} +n+1\right )^{2}+1$ với $n$ là số nguyên dương. Xét dãy số $\left ( x_{n} \right )$ với:
$$x_{n}=\dfrac{f\left ( 1 \right ).f\left ( 3 \right ).f\left ( 5 \right )...f\left ( 2n-1 \right )}{f\left ( 2 \right ).f\left ( 4 \right ).f\left ( 6 \right )...f\left ( 2n \right )}$$
Tính giới hạn của dãy số $u_{n}=n^{2}x_{n}$.

[dark templar]

Bài 1: Đặt $f\left ( n \right )=\left ( n^{2} +n+1\right )^{2}+1$ với $n$ là số nguyên dương. Xét dãy số $\left ( x_{n} \right )$ với:
$$x_{n}=\dfrac{f\left ( 1 \right ).f\left ( 3 \right ).f\left ( 5 \right )...f\left ( 2n-1 \right )}{f\left ( 2 \right ).f\left ( 4 \right ).f\left ( 6 \right )...f\left ( 2n \right )}$$
Tính giới hạn của dãy số $u_{n}=n^{2}x_{n}$.

Bài này quá xưa rồi anh Ý tưởng là phân tích $f(n)=(n^2+1)[(n+1)^2+1]$;suy ra $\dfrac{f(2n-1)}{f(2n)}=\dfrac{(2n-1)^2+1}{(2n)^2+1}$.
Đáp số bài này là $\dfrac{1}{2}$.

[Crystal]

Bài 2: Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$: $\left\{\begin{matrix}
x_{1}=1 \\
x_{n+1} =7-log_{3}\left ( x_{n}^{2} +11\right )
\end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn đó.

[levanthuc]

Bài 2: Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$: $\left\{\begin{matrix}
x_{1}=1 \\
x_{n+1} =7-log_{3}\left ( x_{n}^{2} +11\right )
\end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn đó.

Sử dụng phương pháp ánh xạ co

[Noobmath]

Xét $f(x)=7-\log_{3}(x^2+11)$

$f'(x)=\frac{2x}{(x^2+11)\ln 3} \Rightarrow |f'(x)|<\frac{1}{2} $ với mọi $x \in \mathbb{R} $

Ta có theo định lý Lagrange : 

$|x_{n+1}-4|=|7-\log_{3}(x^2+11)-4|=|f(x_n)-f(4)|=|f'(c)|.|x_n-4|<\frac{1}{2}|x_n-4|<...<(\frac{1}{2})^n|x_1-4|$

Mà $\lim (\frac{1}{2})^n|x_1-4|=0 \Rightarrow \lim (x_n-4)=0 $ hay $\lim x_n = 4 $