$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 18:16
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 18:16
Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$Cho x,y,z thuộc [1,3]
$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$
P/s: em đang cần gấp !!
Cách giải bài này là như thế nào vậy ạ?Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.
Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)
Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$
Ta có:\[x \in \left[ {1,2} \right] \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le 3x \Leftrightarrow x + \dfrac{2}{x} \le 3\]Cách giải bài này là như thế nào vậy ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 22:30
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
Anh cho em hỏi là nếu giải theo phương pháp này thì ta dễ dàng thấy đẳng thức xảy ra khi: $x;y;z \in \{ 1;3\} $. Nhưng em thử các bộ số cũng không xảy ra đẳng thức.Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$
Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-11-2011 - 22:22
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
Em thấy ý kiến của Huy ở trên cũng đúng.$x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$
. Bài em sai chỗ nào vậy anh. Lúc làm không ra $10$ em cũng kiểm tra lại rồi mà không thấy . Nhưng dấu = của em không tìm được.@vietfrog: Mặc dù là nói tương tự bài trên nhưng cách giải thì không hoàn toàn là như trên. Bài giải của vietfrog chưa chính xác. Làm gì có $10,25$ phải đúng 10.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 23:50
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
Bài này là đề thi Olympic 30/4 năm nào đó, em không nhớ. Chỉ nhớ cách giải như sau:Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.
Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)
Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$
Anh cho em hỏi là nếu giải theo phương pháp này thì ta dễ dàng thấy đẳng thức xảy ra khi: $x;y;z \in \{ 1;3\} $. Nhưng em thử các bộ số cũng không xảy ra đẳng thức.
Đúng là không có dấu "=". Cảm ơn những phát hiện của mọi người.Em thấy ý kiến của Huy ở trên cũng đúng.
Cái BĐT này em nghĩ là dấu = xảy ra khi $x=1$ hoặc $x=3$. Như vậy thì dấu = của BĐT xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Liệu BĐT có xảy ra dấu = không????
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
Bài của em có xảy ra dấu "=". Chẳng hạn $x=1,y=2,z=2$.Như vậy thì bài của em phía trên tính sao ạ? Cũng không có dấu = tức là $A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) < 10.25$
Như vậy sẽ mâu thuẫn với bài của Hân. Chắc là bài em sai nhưng em không tìm thấy lỗi .
Mọi người giúp với!
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh