Đến nội dung

Hình ảnh

CM: $(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$ với $1 \leq x;y;z \leq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
cnccnc1996

cnccnc1996

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
Cho x,y,z thuộc [1,3]

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 18:16


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Cho x,y,z thuộc [1,3]

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$

P/s: em đang cần gấp !!

Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$

#3
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.

Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$

#4
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.

Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$

Cách giải bài này là như thế nào vậy ạ?

#5
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Cách giải bài này là như thế nào vậy ạ?

Ta có:\[x \in \left[ {1,2} \right] \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le 3x \Leftrightarrow x + \dfrac{2}{x} \le 3\]
Tương tự:\[y + \dfrac{2}{y} \le 3;z + \dfrac{2}{z} \le 3\]
Cộng lại ta được:\[(x + y + z) + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le 9\]
Mặt khác theo BĐT AM-GM:
\[(x + y + z) + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 2\sqrt {2(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \]
\[ \Rightarrow 2\sqrt {2(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \le 9\]
\[ \Leftrightarrow (x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le \dfrac{{81}}{8} = 10,25\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 22:30

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#6
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết

Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$

Anh cho em hỏi là nếu giải theo phương pháp này thì ta dễ dàng thấy đẳng thức xảy ra khi: $x;y;z \in \{ 1;3\} $. Nhưng em thử các bộ số cũng không xảy ra đẳng thức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-11-2011 - 22:22

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#7
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
@vietfrog: Mặc dù là nói tương tự bài trên nhưng cách giải thì không hoàn toàn là như trên. Bài giải của vietfrog chưa chính xác. Làm gì có $10,25$ phải đúng 10.

Hướng dẫn: Khai triển VT, đánh giá theo nhóm rồi dựa vào điều kiện $x,y,z \in \left[ {1,2} \right]$ để chứng minh theo 2 biến $x$ và $z$.

#8
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

$x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Em thấy ý kiến của Huy ở trên cũng đúng.
Cái BĐT này em nghĩ là dấu = xảy ra khi $x=1$ hoặc $x=3$. Như vậy thì dấu = của BĐT xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Liệu BĐT có xảy ra dấu = không????

@vietfrog: Mặc dù là nói tương tự bài trên nhưng cách giải thì không hoàn toàn là như trên. Bài giải của vietfrog chưa chính xác. Làm gì có $10,25$ phải đúng 10.

:( :( . Bài em sai chỗ nào vậy anh. Lúc làm không ra $10$ em cũng kiểm tra lại rồi mà không thấy :( . Nhưng dấu = của em không tìm được.
Anh Thành giúp em với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 23:50

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.

Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$

Bài này là đề thi Olympic 30/4 năm nào đó, em không nhớ. Chỉ nhớ cách giải như sau:
Lời giải:

\[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right)\]
WLOG, giả sử
$ 2 \geq z \geq y \geq x \geq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{z}$
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị, ta thu được:

\[x.\dfrac{1}{y} + y.\dfrac{1}{z} + z.\dfrac{1}{x} \le x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{y} + z.\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} + 1\]

\[x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{x} + z.\dfrac{1}{y} \le x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{y} + z.\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} + 1\]

\[ \Rightarrow A \le 5 + 2\left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)\]
Đặt $t=\dfrac{x}{z} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\leq t \leq 1$
Xét hàm $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$ với $t \in [\dfrac{1}{2};1]$. Dễ thấy f nghịc biến.
$\Rightarrow f(t) \leq f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow A \leq 10$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Vâng, đúng là bài đầu chỉ có thể kết luận là

$A=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)<12$

Em nghĩ là $\text{Max(A) } = \dfrac{35}{3}$

không biết có đúng không nữa! :) :lol:

#11
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Anh cho em hỏi là nếu giải theo phương pháp này thì ta dễ dàng thấy đẳng thức xảy ra khi: $x;y;z \in \{ 1;3\} $. Nhưng em thử các bộ số cũng không xảy ra đẳng thức.

Em thấy ý kiến của Huy ở trên cũng đúng.
Cái BĐT này em nghĩ là dấu = xảy ra khi $x=1$ hoặc $x=3$. Như vậy thì dấu = của BĐT xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Liệu BĐT có xảy ra dấu = không????

Đúng là không có dấu "=". Cảm ơn những phát hiện của mọi người.

#12
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Như vậy thì bài của em phía trên tính sao ạ? Cũng không có dấu = tức là $A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) < 10.25$
Như vậy sẽ mâu thuẫn với bài của Hân. Chắc là bài em sai nhưng em không tìm thấy lỗi :( :( :( :( :( .
Mọi người giúp với!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#13
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Như vậy thì bài của em phía trên tính sao ạ? Cũng không có dấu = tức là $A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) < 10.25$
Như vậy sẽ mâu thuẫn với bài của Hân. Chắc là bài em sai nhưng em không tìm thấy lỗi :( :( :( :( :( .
Mọi người giúp với!

Bài của em có xảy ra dấu "=". Chẳng hạn $x=1,y=2,z=2$.
Bài của Hân giải đúng rồi đó.
Cũng giống như bài trên, nếu giải theo cách đó thì sẽ không xảy ra dấu "=". Do đó ta phải suy nghĩ theo một hướng khác.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh