Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM: $(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$ với $1 \leq x;y;z \leq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 cnccnc1996

cnccnc1996

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái

Đã gửi 09-11-2011 - 19:20

Cho x,y,z thuộc [1,3]

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 18:16


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-11-2011 - 19:49

Cho x,y,z thuộc [1,3]

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$

P/s: em đang cần gấp !!

Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-11-2011 - 12:56

Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.

Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$

#4 Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 460 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-11-2011 - 21:57

Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.

Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$

Cách giải bài này là như thế nào vậy ạ?

#5 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 10-11-2011 - 22:14

Cách giải bài này là như thế nào vậy ạ?

Ta có:\[x \in \left[ {1,2} \right] \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le 3x \Leftrightarrow x + \dfrac{2}{x} \le 3\]
Tương tự:\[y + \dfrac{2}{y} \le 3;z + \dfrac{2}{z} \le 3\]
Cộng lại ta được:\[(x + y + z) + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le 9\]
Mặt khác theo BĐT AM-GM:
\[(x + y + z) + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 2\sqrt {2(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \]
\[ \Rightarrow 2\sqrt {2(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \le 9\]
\[ \Leftrightarrow (x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le \dfrac{{81}}{8} = 10,25\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 22:30

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#6 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 10-11-2011 - 22:22

Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$

Anh cho em hỏi là nếu giải theo phương pháp này thì ta dễ dàng thấy đẳng thức xảy ra khi: $x;y;z \in \{ 1;3\} $. Nhưng em thử các bộ số cũng không xảy ra đẳng thức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-11-2011 - 22:22

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-11-2011 - 22:26

@vietfrog: Mặc dù là nói tương tự bài trên nhưng cách giải thì không hoàn toàn là như trên. Bài giải của vietfrog chưa chính xác. Làm gì có $10,25$ phải đúng 10.

Hướng dẫn: Khai triển VT, đánh giá theo nhóm rồi dựa vào điều kiện $x,y,z \in \left[ {1,2} \right]$ để chứng minh theo 2 biến $x$ và $z$.

#8 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 10-11-2011 - 22:35

$x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Em thấy ý kiến của Huy ở trên cũng đúng.
Cái BĐT này em nghĩ là dấu = xảy ra khi $x=1$ hoặc $x=3$. Như vậy thì dấu = của BĐT xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Liệu BĐT có xảy ra dấu = không????

@vietfrog: Mặc dù là nói tương tự bài trên nhưng cách giải thì không hoàn toàn là như trên. Bài giải của vietfrog chưa chính xác. Làm gì có $10,25$ phải đúng 10.

:( :( . Bài em sai chỗ nào vậy anh. Lúc làm không ra $10$ em cũng kiểm tra lại rồi mà không thấy :( . Nhưng dấu = của em không tìm được.
Anh Thành giúp em với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 23:50

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#9 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 10-11-2011 - 22:56

Xin nêu một bài tương tự, các bạn tham khảo.

Bài toán: (Trích từ Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $\left [ 1,2 \right ]$. Chứng minh rằng: $$\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )\leq 10$$

Bài này là đề thi Olympic 30/4 năm nào đó, em không nhớ. Chỉ nhớ cách giải như sau:
Lời giải:

\[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right)\]
WLOG, giả sử
$ 2 \geq z \geq y \geq x \geq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{z}$
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị, ta thu được:

\[x.\dfrac{1}{y} + y.\dfrac{1}{z} + z.\dfrac{1}{x} \le x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{y} + z.\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} + 1\]

\[x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{x} + z.\dfrac{1}{y} \le x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{y} + z.\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} + 1\]

\[ \Rightarrow A \le 5 + 2\left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)\]
Đặt $t=\dfrac{x}{z} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\leq t \leq 1$
Xét hàm $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$ với $t \in [\dfrac{1}{2};1]$. Dễ thấy f nghịc biến.
$\Rightarrow f(t) \leq f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow A \leq 10$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#10 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-11-2011 - 23:25

Vâng, đúng là bài đầu chỉ có thể kết luận là

$A=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)<12$

Em nghĩ là $\text{Max(A) } = \dfrac{35}{3}$

không biết có đúng không nữa! :) :lol:
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#11 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-11-2011 - 23:35

Anh cho em hỏi là nếu giải theo phương pháp này thì ta dễ dàng thấy đẳng thức xảy ra khi: $x;y;z \in \{ 1;3\} $. Nhưng em thử các bộ số cũng không xảy ra đẳng thức.

Em thấy ý kiến của Huy ở trên cũng đúng.
Cái BĐT này em nghĩ là dấu = xảy ra khi $x=1$ hoặc $x=3$. Như vậy thì dấu = của BĐT xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Liệu BĐT có xảy ra dấu = không????

Đúng là không có dấu "=". Cảm ơn những phát hiện của mọi người.

#12 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 10-11-2011 - 23:49

Như vậy thì bài của em phía trên tính sao ạ? Cũng không có dấu = tức là $A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) < 10.25$
Như vậy sẽ mâu thuẫn với bài của Hân. Chắc là bài em sai nhưng em không tìm thấy lỗi :( :( :( :( :( .
Mọi người giúp với!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#13 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-11-2011 - 23:56

Như vậy thì bài của em phía trên tính sao ạ? Cũng không có dấu = tức là $A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) < 10.25$
Như vậy sẽ mâu thuẫn với bài của Hân. Chắc là bài em sai nhưng em không tìm thấy lỗi :( :( :( :( :( .
Mọi người giúp với!

Bài của em có xảy ra dấu "=". Chẳng hạn $x=1,y=2,z=2$.
Bài của Hân giải đúng rồi đó.
Cũng giống như bài trên, nếu giải theo cách đó thì sẽ không xảy ra dấu "=". Do đó ta phải suy nghĩ theo một hướng khác.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh