$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a+b+c = 1. Chứng minh: $a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Bắt đầu bởi ChuDong2008, 10-11-2011 - 07:35
#1
Đã gửi 10-11-2011 - 07:35
ChuDong2008
-
- Thành viên
-
- 119 Bài viết
Trung sĩ
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
#2
Đã gửi 10-11-2011 - 09:29
DBSK
-
- Thành viên
-
- 42 Bài viết
Binh nhất
Ta có:$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a+2b+c}{(1-a)(1-c)} \geq 4(1-b)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq 4(1-b)$
Ta lại có:
$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq \dfrac{4}{1+b} $
Mà:
$\dfrac{4}{1+b} \geq 4(1-b)$ (Biến đổi tương đương)
Suy ra Q.E.D
- HÀ QUỐC ĐẠT và MIM thích
#3
Đã gửi 10-11-2011 - 20:08
Katyusha
-
- Thành viên
-
- 461 Bài viết
Sĩ quan
Mình nghĩ phải có thêm giả thiết a,b,c không âm nữa. Nếu không thì chọn $a=1, b=-2, c=2$. Lúc đó: $VT=-2 \leq VP=0$
- perfectstrong yêu thích
#4
Đã gửi 15-11-2011 - 21:54
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Mình góp thêm 1 cách khá hay cho bài này. Đề bài cho thiếu đk của a,b,c là số dương
Từ giả thiết ta có$0\leq b\leq 1;b+c=1-a$
$4(1-a)(1-b)(1-c)=4(b+c)(1-b)(1-c)$
Ta có :$4(b+c)(1-c)\leq (1+b)^2$ vì $(x+y)^2\geq 4xy$
Nên: $4(b+c)(1-c)(1-b)\leq (1-b)(1+b^2)=(1+b)(1-b^2)$
Do $1-b^2\leq 1\Rightarrow 4(b+c)(1-c)(1-b)\leq 1+b=a+2b+c$
Do đó$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Từ giả thiết ta có$0\leq b\leq 1;b+c=1-a$
$4(1-a)(1-b)(1-c)=4(b+c)(1-b)(1-c)$
Ta có :$4(b+c)(1-c)\leq (1+b)^2$ vì $(x+y)^2\geq 4xy$
Nên: $4(b+c)(1-c)(1-b)\leq (1-b)(1+b^2)=(1+b)(1-b^2)$
Do $1-b^2\leq 1\Rightarrow 4(b+c)(1-c)(1-b)\leq 1+b=a+2b+c$
Do đó$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
- HÀ QUỐC ĐẠT yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
