Chủ đề này có 4 trả lời

[disonline]

Chứng minh các đẳng thức sau:
$1) (C_{2n+1}^{0})^2-(C_{2n+1}^{1})^2+(C_{2n+1}^{2})^2-...+(-1)^{2n+1}(C_{2n+1}^{2n+1})^2=0$

$2) 2^nC_{n}^{0}+2^{n-1}.7^1C_{n}^{1}+...+2.7^{n-1}C_{n}^{n-1}+7^{n}C_{n}^{n}=9^n$

$3) \dfrac{1} {2}C_{n}^{1}+\dfrac{2} {3}C_{n}^{2}+\dfrac{3} {4}C_{n}^{3}+...+\dfrac{n} {n+1}C_{n}^{n}=\dfrac{(n-1)2^{n}+1} {n+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-12-2011 - 14:03

[kuma]

Chứng minh các đẳng thức sau:
$2) 2^nC_{n}^{0}+2^{n-1}.7^1C_{n}^{1}+...+2.7^{n-1}C_{n}^{n-1}+7^{n}C_{n}^{n}=9^n$

$2^nC_{n}^{0}+2^{n-1}.7^1C_{n}^{1}+...+2.7^{n-1}C_{n}^{n-1}+7^{n}C_{n}^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k.2^{n-k}.7^k = (2+7)^n = 9^n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kuma: 14-11-2011 - 22:51

[le_hoang1995]

Bài 1
$(C_{2n+1}^{0})^{^{2}} = (C_{2n+1}^{2n+1})^{2}$ Hằng đẳng thức Pascal, tương tự

$(C_{2n+1}^{2})^{2} = (C_{2n+1}^{2n-1})^{2}$

..........................................................................
$(C_{2n+1}^{2n})^{2} = (C_{2n+1}^{1})^{2}$ Cộng theo hai vế ta co đpcm.
Mọi người xem thử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 13-12-2011 - 16:37

[go out]

Chém bài 3 nhé
$3) \dfrac{1} {2}C_{n}^{1}+\dfrac{2} {3}C_{n}^{2}+\dfrac{3} {4}C_{n}^{3}+...+\dfrac{n} {n+1}C_{n}^{n}=\dfrac{(n-1)2^{n}+1} {n+1}$

$\Leftrightarrow 2^n - \dfrac{2^{n+1}-1}{n+1} = C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... +C_{n}^{n} - \left(\dfrac{1}{2}C_{n}^{1} + \dfrac{1}{3}C_{n}^{2} + ... + \dfrac{1}{n+1}C_{n}^{n} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{2^{n+1}-1}{n+1} = \dfrac{1}{1}C_{n}^{0}+\dfrac{1}{2}C_{n}^{1} + \dfrac{1}{3}C_{n}^{2} + ... + \dfrac{1}{n+1}C_{n}^{n}\;\;(*)$
____
Xét hàm $$f(x)=(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^k$$, lấy tích phân $2$ vế từ $0$ đến $1$ ta được:
$$\int_0^1 (1+x)^n dx=\dfrac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\left|\begin{matrix}{}^1 \\ {}_0\end{matrix}\right.=VT(*)=\int_0^1 \sum_{k=0}^n C_n^k x^k dx=\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k+1}C_n^k x^{k+1}\left|\begin{matrix} ^1 \\ _0\end{matrix}\right.=VP(*)$$
Đến đây có đpcm.

@mod : ai vào sửa giúp tý nha, làm lúc tối tính post lên mà giờ mới post được, tranh thủ chiều đi sớm, giờ chợp mắt tý, mod thông cảm nhen

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-12-2011 - 14:27
$\LaTeX$ fixed

[le_hoang1995]

Còn các giải nào khác cho câu 3 không, mình chưa học tích phân