Đến nội dung

Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 5: DELTA - BETA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 78 trả lời

#1
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Delta chưa nộp đề ; trọng tài đề nghị cho tạm hoãn trận này :)


Ban tổ chức đồng ý cho hoãn trận này 1 tuần.
Đến 0h00 ngày 21/11/11, Delta không nộp đề thì sẽ bị xử thua


Đây là đợt thi HK rồi ; anh chúc 2 đội sức khoẻ để hoàn thành tốt trận đấu và các bài thi ở trường :

Sau đây là các bài toán thi ( Bài 1-2 là THCS ; 3-4-5 là THPT ; 6 là OLP)

Đề của Delta cho Beta :

Câu 1 :Chứng minh rằng nếu $ \alpha ; \beta $ là các góc nhọn và $ \alpha < \beta $ thì :

$\dfrac{\tan \alpha }{\alpha } < \dfrac{\tan \beta }{\beta }$

Câu 2 : So sánh : $ 300!$ và $ 100^{300}$

Câu 3 : Chứng minh rằng ; nếu $a; b ; c $ là những số thực dương ; ta có :

$\sum _{cyc}\dfrac{2a^2 + bc}{a^2 + 2bc} \le \sqrt{\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{abc}}$

Câu 4 : Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn :

$\left ( x+y \right )\left ( f(x)-f(y) \right )=(x-y)f(x+y) \forall \ \ x;y \in \mathbb{R}$

Câu 5 :
CHO tam gíac ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ; bán kính R . Góc B lớn hơn góc C . Tiếp tuyến của đường tròn tại A giao với BC tại S . SO cắt AB ; AC lần lượt tại M ; N . Gọi E ; F lần lượt là trung điểm AB ; AC

Chứng minh rằng :


NE ; MF ; AO đồng quy

Câu 6 :

Xét 1 hoán vị $ \left ( a_1 ; a_2 ; ...;a_{100} \right ) $ của tập hợp $\left \{ 1 ; 2 ; ...; 100 \right \}$

Lấy 100 số $B_i$ dạng :

$ B_i = a_1 + a_2 + ...a_i$

Chứng minh rằng tập hợp các số dư khi chia 100 số trên cho 100 có ít nhất 11 phần tử :)

Còn đây là đề của Beta :

ĐẤU TRƯỜNG VMF 2011

ĐỀ THI CHO TRẬN BETA - DELTA

Đề thi của đội BETA


Câu 1: (THCS)
Tìm số dư của phép chia ${2222^{5555}} + {5555^{2222}}$ cho 7.

Câu 2: (THCS)
Cho hình thang có diện tích bằng 1. Hỏi đường chéo hình thang có thể lấy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu.

Câu 3: (THPT)
Giả sử P là một điểm tuỳ ý trong tam giác ABC.
Kí hiệu $PA = {R_1},\,PB = {R_2},\,\,PC = {R_3}$, kí hiệu ${r_1},\,{r_2},\,{r_3}$ là khoảng cách từ P đến BC, AC, AB. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$R_1^2{\sin ^2}A + R_2^2{\sin ^2}B + R_3^2{\sin ^2}C \le 3(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2)$$

Câu 4: (THPT)
Cho tam giác ABC và các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:





$$x{a^2} + y{b^2} + z{c^2} \ge 4\sqrt {xy + yz + zx} S$$

Câu 5: (THPT)
Tính: $$\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{dx}}{{ta{n^{\sqrt 3 + 5}}x + 1}}} $$
Câu 6: (Olympiad)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $V,M,F$ luôn tìm được số nguyên dương n sao cho số $A = {n^3} + V{n^2} + Mn + F$ không phải là số chính phương.







----------------------HẾT-----------------------


diendantoanhoc.net

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-04-2012 - 16:03

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#2
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
Đội DELTA xin giải bài 1 của BETA:
Tính chất: a đồng dư b theo modun c khi và chỉ khi (a-b) chia hết cho c

Ta có $2222 \equiv 3(\bmod 7) \Rightarrow 2222^{5555} \equiv 3^{5555} (\bmod 7)$
$5555 \equiv 4(\bmod 7) \Rightarrow 5555^{2222} \equiv 4^{2222} (\bmod 7)$
Lại có $4^3 \equiv 1(\bmod 7) \Rightarrow 4^{2220} = 4^{3.740} \equiv 1(\bmod 7)$
$ \Rightarrow 4^{2222} = 4^2 .4^{2220} \equiv 4^2 (\bmod 7)$
Mà $4^2 \equiv 2(\bmod 7) \Rightarrow 4^{2222} \equiv 2(\bmod 7)$
Tương tự ta có được $3^{5555} \equiv 5(\bmod 7)$
Vậy $2222^{5555} + 5555^{2222} $ chia hết cho 7

PSW : Great :)

Các bạn THCS muốn hiểu rõ hơn về lời giải này ; có thể tìm đọc các bài viết về " cấp của 1 số nguyên "

PSW : 6/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 09-12-2011 - 19:07

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#3
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết

Câu 6: (Olympiad)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $V,M,F$ luôn tìm được số nguyên dương n sao cho số $A = {n^3} + V{n^2} + Mn + F$ không phải là số chính phương.

anh qua của đội DELTA giải bài olympiad của đội BETA.
Giả sử A là số chính phương với mọi n nguyên dương
Đặt $f(n)= {n^3} + V{n^2} + Mn + F$
Suy ra $f(1)= 1+V+M+F$ ; $f(2)= 8+4V+2M+F$ ; $f(3)= 27+9V+3M+F$ ; $f(4)= 64 +16V+4M+F$ đều là số chính phương.

Mà: $f(4)-f(2) \equiv 2M ( mod 4)$ và $ f(4)-f(2) \equiv 0, 1 hoặc -1 (mod 4)$. ( do $ f(4), f(2)$ đều là số chính phương)
Do đó $2M \equiv 0 ( mod 4)$
Suy ra $2M+2 \equiv 2 (mod 4)$
Mặt khác: $ f(3)-f(1) \equiv 2M+2 (mod 4)$.
Suy ra mâu thuẫn!!!! ( do $ f(3)-f(1) \equiv 0, 1 hoặc -1 (mod 4)$ )
Từ đây ta có ĐPCM.
Vậy luôn tồn tại n nguyên dương sao cho $A = {n^3} + V{n^2} + Mn + F$ không phải là số chính phương.
---------------------------------------------------------------------
DELTA cố lên!!!

PSW : tuyệt :)

8/8 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 09-12-2011 - 19:07

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#4
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Delta đã có 2 lời giải đẹp về mặt hình thức ; đúng hay không PSW chưa dám nói vì thời gian còn nhiều ; tuy nhiên Beta cố lên nhé :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#5
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
DELTA cố lên. Theo thông tin mới nhất thì DELTA đẫ làm được 5 câu trừ câu tích phân
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#6
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết

Bài 4 của Beta thực chất chưa phải là kết quả chặt nhất ; và nếu Delta tìm ra được kết quả chặt hơn ; Ban Tổ Chức sẽ xem xét có những phần thưởng riêng :)

anh qua của đội DELTA giải bài 4 của đội BETA.
Ta sẽ chứng minh kết quả chặt hơn sau:
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a,b,c và diện tích S. Với 3 số x,y,z thỏa mãn $\sqrt{x+y}, \sqrt{y+z}, \sqrt{z+x}$ là ba cạnh một tam giác, thì ta có: $xa^2+yb^2+zc^2 \geq \sqrt{xy+yz+zx}.S$
Lời giải:
Trước tiên ta chứng minh nếu $\sqrt{x+y},\sqrt{y+z},\sqrt{z+x}$ là ba cạnh một tam giác thì $xy+yz+zx > 0$.
- x,y,z đều dương ( hiển nhiên)
- trong x,y,z có một số âm, giả sử là x, ta có: $ y > -x \geq 0; z > -x \geq 0$.
Mà: $\sqrt{x+y}+\sqrt{x+z} > \sqrt{y+z}$
tương đương với: $\sqrt{x+y}\sqrt{x+z} > -x$
suy ra xy+yz+zx > 0.
Trở lại với bài toán:
Vì $x+y, y+z, z+x >0$ nên trong $x,y,z$ phải có ít nhất hai số dương.
Giả sử $y,z > 0$ và $y+z\geq x+y; y+z\geq z+x$
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ suy ra $HB+HC \geq BC$.
Ta có: $xa^2+yb^2+zc^2= xBC^2+y(HC^2+HA^2)+z(HB^2+HA^2)$
$= xBC^2+(y+z).HA^2+y.HC^2+z.HB^2$.
Theo Cauchy Shwarz ta có: $y.HC^2+z.HB^2 \geq \frac{yz}{y+z}.(HC+HB)^2 \geq \frac{yz}{y+z}.BC^2$
Do đó: $xa^2+yb^2+zc^2 \geq \frac{xy+yz+zx}{y+z}.BC^2+(y+z).AH^2 \geq 2\sqrt{xy+yz+zx}.AH.BC= 4\sqrt{xy+yz+zx}.S$
Suy ra ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{\sqrt{y+z}}=\frac{b}{\sqrt{z+x}}=\frac{c}{\sqrt{x+y}}$. :icon6: :icon6:

-----------------------------------

PSW : 7/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 26-01-2012 - 22:31

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#7
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Hai đội cố lên!
________________
Xin thứ lỗi vì đặt câu hỏi trong đây, mình thấy Câu I trong đề DELTA có vẻ không được hợp lý cho lắm!
Không biết cấp THCS đã học về lượng giác chưa?
Thực tế các góc $\alpha;\;\beta$trong BDT của đề được tính bằng radian
(Trong đề không thấy có chú thích, vì mình nghĩ rằng đơn vị radian chưa được dùng đến trong cấp THCS)
________
Mong BGK xem và cho ý kiến!
________
Có thể Câu II trong đề của Alpha cũng gặp phải vấn đề tương tự :)!

#8
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Trọng tài đã đọc sơ đáp án của Delta và thấy họ dùng những kiến thức ; định nghĩa chỉ có ở bậc THCS nên đề bài của Delta không có câu nào là không hợp lệ :) . Còn với bài của Alpha thì trọng tài nghĩ : nếu là hình học ; ta có thể chứng minh lại những định lý mạnh bằng kiến thức THCS rồi áp dụng vào :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#9
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết

Hai đội cố lên!
________________
Xin thứ lỗi vì đặt câu hỏi trong đây, mình thấy Câu I trong đề DELTA có vẻ không được hợp lý cho lắm!
Không biết cấp THCS đã học về lượng giác chưa?
Thực tế các góc $\alpha;\;\beta$trong BDT của đề được tính bằng radian
(Trong đề không thấy có chú thích, vì mình nghĩ rằng đơn vị radian chưa được dùng đến trong cấp THCS)
________
Mong BGK xem và cho ý kiến!
________
Có thể Câu II trong đề của Alpha cũng gặp phải vấn đề tương tự :)!

Em cũng nghĩ như thầy. Cái radian chưa học ở THCS đâu. Nếu không có radian thì ở THCS chưa học một bđt nào liên quan giữa góc và tỉ số lượng giác hết. Ở THCS mới chỉ học định nghĩa về TSLG cho góc nhọn là tỉ số các cạnh trong tam giác vuông thôi

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#10
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Dù những người lớn nói "đơn vị đo góc bằng rađian là rất đơn giản" nhưng các em THCS chưa học và thậm chí các em chẳng hình dung ra $\alpha , \beta$ là gì cả. Như Cao Xuân Huy cứ hỏi ongtroi về cái "góc" ấy là sao?????
Chẳng hạn các em THCS không thể biết được cách ghi như thế này: $\frac{A}{a}=\frac{1}{2}$. Hy vọng trọng tài cho ý kiến!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 24-11-2011 - 15:58


#11
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Dù những người lớn nói "đơn vị đo góc bằng rađian là rất đơn giản" nhưng các em THCS chưa học và thậm chí các em chẳng hình dung ra $\alpha , \beta$ là gì cả. Như Cao Xuân Huy cứ hỏi ongtroi về cái "góc" ấy là sao?????
Chẳng hạn các em THCS không thể biết được cách ghi như thế này: $\frac{A}{a}=\frac{1}{2}$. Hy vọng trọng tài cho ý kiến!

Vâng xin cảm ơn ý kiến của BETA nhưng đáp án lại hoàn toàn là chương trình đã học ở lớp 9 đối với những ai học đội tuyển
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#12
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Vâng xin cảm ơn ý kiến của BETA nhưng đáp án lại hoàn toàn là chương trình đã học ở lớp 9 đối với những ai học đội tuyển

Bạn nghĩ tất cả thành viên của BETA đều là những người học đội tuyển? Mình không cho đó là bài toán khó (với mình) nhưng có thể nó sẽ không phù hợp với đa số các bạn THCS.

#13
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
chắc chắn rồi, 1 pi radian tương đương với 180 dộ mà. Viết vậy cho gọn và dễ tưởng tượng thôi. Nếu BETA cần thì khi công bố đáp án DELTA sẽ chuyển hết sang dộ cũng được
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#14
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
DELTA giải bài 2 của BETA. Nếu có gì sai trong bài này thì thành viên DELTA đống góp luôn nhé

Giả sử đã dựng được 1 trong số nhiều hình thang có S= 1 và đường chéo min (gọi hình thang là ABCD có đường chéo nhỏ là BD). Ta sẽ chỉ ra hình thang có S= 1 và có đường chéo nhỏ hơn thế.
Kẻ DK vuông góc AB. Giữ nguyên độ dài KB, KA và vị trí D. Kéo dài C về phía xa D. Gọi vị trí mới là C' thì C'D > CD.
Để S của ABC'D = 1 thì BH < B'H (B' là vị trí nới của B và H là hình chiếu trên CD của B )
Suy ra được DB > DB' (dpcm)
Như vậy ta không thể chọn ra được 1 hình thang nào chứa 1 đường chéo như vậy hay là không tồn tại đường chéo như vậy.
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#15
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
Giải câu 3 đôi DELTA:

Ta cần chứng minh:
$\dfrac{{2{a^2} + bc}}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{{2{b^2} + ca}}{{{b^2} + 2ca}} + \dfrac{{2{c^2} + ab}}{{{c^2} + 2ab}} \le \sqrt {\dfrac{{({a^2} + {b^2} + {c^2})(a + b + c)}}{{abc}}} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{a^3} + abc}}{{{a^3} + 2abc}} + \dfrac{{2{b^3} + abc}}{{{b^3} + 2abc}} + \dfrac{{2{c^3} + abc}}{{{c^3} + 2abc}} \le \sqrt {\dfrac{{({a^2} + {b^2} + {c^2})(a + b + c)}}{{abc}}} $
Chuẩn hoá abc = 1. Bất đẳng thức được viết lại như sau:
$\dfrac{{2{a^3} + 1}}{{{a^3} + 2}} + \dfrac{{2{b^3} + 1}}{{{b^3} + 2}} + \dfrac{{2{c^3} + 1}}{{{c^3} + 2}} \le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})(a + b + c)} $

Trước tiên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{{2{a^3} + 1}}{{{a^3} + 2}} + \dfrac{{2{b^3} + 1}}{{{b^3} + 2}} + \dfrac{{2{c^3} + 1}}{{{c^3} + 2}} \le a + b + c$ (1)
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{a^3} + 1}}{{{a^3} + 2}} - a + \dfrac{{2{b^3} + 1}}{{{b^3} + 2}} - b + \dfrac{{2{c^3} + 1}}{{{c^3} + 2}} - c \le 0$
Giả sử: $a \le b \le c \Rightarrow a \in (0;1]$
Cố định b, c.
$f_{(a)}^' = \dfrac{{ - {{(a - 1)}^2}(a + 2)({a^3} + 3a + 2)}}{{{{({a^3} + 2)}^2}}} \le 0$
Vậy:
$f(a) \le f(1) = \dfrac{{2{b^3} + 1}}{{{b^3} + 2}} - b + \dfrac{{2{c^3} + 1}}{{{c^3} + 2}} - c$
Do: $abc = 1$ nên khi a = 1 thì $c = \dfrac{1}{b}$
Ta giả sử $b \le c \Rightarrow b \in (0;1]$
$f(b) = \dfrac{{2{b^3} + 1}}{{{b^3} + 2}} + \dfrac{{{b^3} + 2}}{{2{b^3} + 1}} - b - \dfrac{1}{b}$
$ \Rightarrow f_{(b)}^' = - \left( {\dfrac{{{{(b - 1)}^2}(b + 2)({b^3} + 3b + 2)}}{{{{({b^3} + 2)}^2}}} + \dfrac{{{{(b - 1)}^2}(2b + 1)(2{b^3} + 3{b^2} + 1)}}{{{b^2}{{(2{b^3} + 1)}^2}}}} \right) \le 0$
$ \Rightarrow f(b) \le f(1) = 0$

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức (1) đúng.
Do abc=1 nên $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{l}
a + b + c \le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})(a + b + c)} \\
\Leftrightarrow a + b + c \le {a^2} + {b^2} + {c^2}
\end{array}$
Mà:
$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{1}{3}{(a + b + c)^2}\\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - a - b - c \ge \dfrac{1}{3}(a + b + c)(a + b + c - 3) \ge 0
\end{array}$

Từ đó ta có đpcm.

PSW : 0/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 08-12-2011 - 00:25

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#16
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Vậy là cuối cùng cũng khai thông thế bế tắc

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#17
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Thành thật xin lỗi mọi người về sự lý giải sai ở trên ; PSW có sự nhầm lẫn :

Trong câu 1 của Delta ; các số $ \alpha ; \beta $ được tính bằng đơn vị radian

Ta hiểu radian là 1 đơn vị dùng để tính góc và $ \pi$ radian sẽ tương đương $180^{0}$

$\pi$ là hằng số vô tỷ ; xấp xỉ 3,14159......

Và công thức tính chu vi được tròn bán kính $R$ là $ 2 \pi R$

Và diện tích đường tròn bán kính $R$ tính theo công thức : $ \pi R^2$

Mình nghĩ ; với những giải thích trên ; phần nào gỉai toả nghi ngờ của các bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-11-2011 - 20:41

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#18
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
Giải câu 1 đội DELTA:

Ta cần chứng minh:
$\dfrac{{\tan \alpha }}{\alpha } < \dfrac{{\tan \beta }}{\beta } \Leftrightarrow \alpha \tan \beta > \beta \tan \alpha $
Ta cần sử dụng định nghĩa của hàm lượng giác bằng chuỗi:
$\tan x = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}}} ,\left| x \right| < \dfrac{\pi }{2}$
Dùng định nghĩa trên và trở lại bài toán, ta cần chứng minh:
$\alpha \left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}{\beta ^{2n - 1}}}}{{(2n)!}}} } \right) > \beta \left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}{\alpha ^{2n - 1}}}}{{(2n)!}}} } \right)$
$ \Leftrightarrow \alpha .\beta .\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}}}{{(2n)!}}.({\beta ^{2n - 2}} - {\alpha ^{2n - 2}}} \right) > 0} $
Do $\alpha < \beta $ nên biểu thức cuối đúng, từ đó ta được đpcm.

P/s: Em nghĩ bài này không nên cho vào THCS

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#19
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Giải câu 1 đội DELTA:

Ta cần chứng minh:
$\dfrac{{\tan \alpha }}{\alpha } < \dfrac{{\tan \beta }}{\beta } \Leftrightarrow \alpha \tan \beta > \beta \tan \alpha $
Ta cần sử dụng định nghĩa của hàm lượng giác bằng chuỗi:
$\tan x = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}}} ,\left| x \right| < \dfrac{\pi }{2}$
Dùng định nghĩa trên và trở lại bài toán, ta cần chứng minh:
$\alpha \left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}{\beta ^{2n - 1}}}}{{(2n)!}}} } \right) > \beta \left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}{\alpha ^{2n - 1}}}}{{(2n)!}}} } \right)$
$ \Leftrightarrow \alpha .\beta .\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){U_n}}}{{(2n)!}}.({\beta ^{2n - 2}} - {\alpha ^{2n - 2}}} \right) > 0} $
Do $\alpha < \beta $ nên biểu thức cuối đúng, từ đó ta được đpcm.

P/s: Em nghĩ bài này không nên cho vào THCS

Bài này sẽ được đổi bằng bài khác. Theo cách giải của Khánh thì THCS sao hiểu nổi.

#20
thangthan

thangthan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
Hì,mấy hôm nay không diễn đàn thì thấy bài của đội Beta bị chém tả tơi rồi ^^.Mình xin giải bài 3 của Beta.
Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc từ P đến BC,CA,AB.
Dễ thấy $R_1sinA=EF,R_2sinB=DF,R_3sinC=DE.$
Đặt $x=\angle EPF,y=\angle FPD,z=\angle DPE thì x+y+z=2\pi$
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giÁc PEF ta có $EF^2=PE^2+PF^2-2PE.PF.cosx$.Tương tự cho 2 tam giÁc DPF và DPE.
Vậy ta chỉ cm ${r_1}^2+{r_2}^2+{r_3}^2+2r_1r_2cosz+2r_1r_3cosy+2r_1r_2cosz\geq 0$
Đặt $f(r_1)={r_1}^2+2r_1(r_2cosz+r_3cosy)+2r_2r_3cosycosz+{r_2}^2+{r_3}^2$ là 1 tam thức bậc hai ẩn là $r_1$.
Ta có $\Delta' _f=({r_2cosz+r_3cosy})^2-2r_2r_3cosx+{r_2}^2+{r_3}^2=-(({r_2sinz})^2+{(r_3siny)^2}+2r_2r_3(cosycosz-cos(2\pi-y-z)))=-(r_2sinz+r_3siny)^2\leq 0$
Vậy $f(r_1)$ luôn không âm nên ta có đpcm.

PSW : 7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 09-12-2011 - 19:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh