Bài 1: ( Khối A-2003)
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{1}{x} = y - \dfrac{1}{y}\\
2y = {x^3} + 1
\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{1}{x} = y - \dfrac{1}{y}(1)\\
2y = {x^3} + 1(2)
\end{array} \right.$
Ta có:
(1)$\Leftrightarrow x-y+\dfrac{x}{xy}-\dfrac{y}{xy}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(1+\dfrac{1}{xy})=0$
$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
x=y (*)\\
xy=-1(**) \\
\end{array} \right.$
Trường hợp (*):
Thế $x=y$ vào (2),ta được phương trình mới:
$\Leftrightarrow x^{3}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+x-1)=0$
$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
x=1 \\
x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\\
\end{array} \right.$
Mà $x=y$ nên :
$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
x=y=1 \\
x=y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
x=y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\\
\end{array} \right.$
Trường hợp (**):
$\left\{ \begin{array}{l}
xy=-1\\
2y = {x^3} + 1
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}
y=\dfrac{-1}{x}\\
2y = {x^3} + 1
\end{array} \right.$
Thay $y=\dfrac{-1}{x}$ vào phương trình $2y=x^{3}+1$ ta được phương trình mới :
$x^{4}+x+2=0\Leftrightarrow (x^{4}-2.\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{4})+(x^{2}+x+\dfrac{1}{4})+\dfrac{3}{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-\dfrac{1}{2})^{2}+(x+\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{3}{2}=0$.
Mà $(x^{2}-\dfrac{1}{2})^{2}+(x+\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{3}{2}$ luôn lớn hơn 0 nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.Do đó,ở trường hợp (**),phương trình trên vô nghiệm.
Vậy,nghiệm của phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{1}{x} = y - \dfrac{1}{y}\\
2y = {x^3} + 1
\end{array} \right.$
là:
$(x,y)=(1,1)$,$(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2})$,$(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2})$
---------------------
@vietfrog: Gõ thế này không đẹp đâu . Nên chèn 2 dấu dola vào.
x=y
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 16-11-2011 - 12:11
