Câu II.2 (Đề số 3_THTT)
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {3x + y} \right)\left( {3y + x} \right)\sqrt {xy} = 14\\
\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + 14xy + {y^2}} \right) = 36
\end{array} \right.\]
Cách này không hay!
Điều kiện: $xy \geqslant 0$ (sâu hơn là $xy > 0$)
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {3{x^2} + 10xy + 3{y^2}} \right)\sqrt {xy} = 14}\\
{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + 14xy + {y^2}} \right) = 36}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ {3{{\left( {x + y} \right)}^2} + 4xy} \right]\sqrt {xy} = 14\\
\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + 12xy} \right] = 36
\end{array} \right.$$
Đặt $u = x + y,v = \sqrt {xy} > 0$, suy ra:
$$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {3{u^2} + 4{v^2}} \right)v = 14\\
u\left( {{u^2} + 12{v^2}} \right) = 36
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{u^2}v + 4{v^3} = 14\\
{u^3} + 12u{v^2} = 36
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
54{u^2}v + 72{v^3} = 252\\
7{u^3} + 84u{v^2} = 252
\end{array} \right.$$
$$ \Rightarrow 7{u^3} - 54{u^2}v + 84u{v^2} - 72{v^3} = 0 \Leftrightarrow 7{\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^3} - 54{\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^2} + 84\left( {\dfrac{u}{v}} \right) - 72 = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{u}{v} - 6} \right)\left( {7{{\left( {\dfrac{u}{v}} \right)}^2} - 12\left( {\dfrac{u}{v}} \right) + 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{u}{v} = 6\,\,\,do\,\,7{\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^2} - 12\left( {\dfrac{u}{v}} \right) + 12 = 0\,\,\,\,vn$$
Thay vào ta được: $$112{v^3} = 14 \Leftrightarrow {v^3} = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow v = \dfrac{1}{2} \Rightarrow u = 3$$
Suy ra: $$\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3\\
\sqrt {xy} = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3\\
xy = \dfrac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2},\dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}} \right)\\
\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2},\dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2}} \right)
\end{array} \right.$$
Thử lại thấy đúng. Vậy nghiệm của hệ đã cho là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2},\dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}} \right),\left( {\dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2},\dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2}} \right)}$