Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 9 Bình chọn

Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học

Tổng hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 102 trả lời

#21 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 07-12-2011 - 21:51

thêm 1 bài nữa vào đây, PT loga:
bài 12: DB_A_2006
giải PT:
$ log_x2+2log_{2x}4=log_{\sqrt{2x}}8 $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#22 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-12-2011 - 21:58

thêm 1 bài nữa vào đây, PT loga:
bài 12: DB_A_2006
giải PT:
$ log_x2+2log_{2x}4=log_{\sqrt{2x}}8 $


Điều kiện:...

$$PT \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}2x}} = \frac{6}{{{{\log }_2}2x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{4}{{1 + {{\log }_2}x}} = \frac{6}{{1 + {{\log }_2}x}}$$
$$ \Leftrightarrow {\log _2}x = 1 \Leftrightarrow \boxed{x = 2}$$

#23 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-12-2011 - 22:09

P/s: Các bạn có nhận ra điều thú vị ở cách đặt ẩn không. Tại sao lại đặt $\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {x + 1} = 2 + t \\
\sqrt {y + 1} = 2 - t \\
\end{gathered} \right.$. Các bạn thử phân tích nhé
:icon1:

Theo em, theo tính đối xứng ta dự đoán được $x=y=2$ là nghiệm hệ phương trình. Khi đó :$\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 1} = 2$.
Kêt hợp với PT 2 đưa đến cho ta cách đặt như vậy để dẫn đến giải PT ẩn t ( khi đã biết $t=0$ là nghiệm thì PT này chắc hẳn đơn giản :D )
Trên đây chỉ là suy nghĩ của cá nhân mình, Các bạn cho ý kiến, suy nghĩ của các bạn nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#24 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-12-2011 - 22:13

Theo em, theo tính đối xứng ta dự đoán được $x=y=2$ là nghiệm hệ phương trình. Khi đó :$\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 1} = 2$.
Kêt hợp với PT 2 đưa đến cho ta cách đặt như vậy để dẫn đến giải PT ẩn t ( khi đã biết $t=0$ là nghiệm thì PT này chắc hẳn đơn giản :D )
Trên đây chỉ là suy nghĩ của cá nhân mình, Các bạn cho ý kiến, suy nghĩ của các bạn nhé!

Trên đây là một hướng suy nghĩ của vietfrog (cũng có ý :D) nhưng rất tiếc ... Các bạn tiếp tục thảo luận nhé.

#25 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-12-2011 - 22:16

Khối B năm 2006
Câu 2:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - \sqrt {xy} = 3 \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4 \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]


Bài này em nghĩ ra được 2 cách sử dụng BĐT
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - \sqrt {xy} = 3 \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3 + \sqrt {xy} (1) \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4(2) \\
\end{array} \right.
\]

Điều kiện x,y$\geq 0$

(1)$\Rightarrow 3+\sqrt{xy}=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\leq 9$(3)
(2) $\Rightarrow 4=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\geq 2\sqrt[4]{xy+x+1+y}$
$\Rightarrow 2\geq \sqrt[4]{xy+x+y+1}\Leftrightarrow 16\geq x+y+xy+1\geq xy+\sqrt{xy}+1\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}-15\leq 0$
$\Rightarrow \sqrt{xy}\leq -5(l)\vee \sqrt{xy}\geq 3\Rightarrow xy\geq 9$(4)
Kết hợp (4);(3) ta có: xy=9 khi x=y=3
Cách này hơi dài :P
Cách thứ 2:
Từ (1) ta có$x,y\geq 0$
(1)$\Rightarrow x+y=3+\sqrt{xy}\leq 3+\dfrac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$
$\Rightarrow (x+1)+(y+1)\leq 8$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$4=1.\sqrt{x+1}+1\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2}.\sqrt{x+y+xy+1}\leq \sqrt{16}=4$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=3
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#26 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-12-2011 - 16:12

Anh gửi cho các em thêm mấy bài

Bài 8 (Dự bị 1, KA-2002)
Giải phương trình: $16\log_{27x^2}x-3\log_{3x}x^2=0$

Bài 9 (Dự bị 2, KA-2002)
Tìm k để hai bất phương trình sau có nghiệm chung:
$|x-1|^3-3x-k<0$ và $ \dfrac{1}{2}\log_2x^2+\dfrac{1}{3}\log_2(x-1)^3 \le 3 $


Bài 9: Điều kiện: ${\left( {x - 1} \right)^3} > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Khi đó:
$$|x - 1{|^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} - 3x < k\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$\dfrac{1}{2}{\log _2}{x^2} + \dfrac{1}{3}{\log _2}{(x - 1)^3} \leqslant 3 \Leftrightarrow {\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) \leqslant 3$$
$$ \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {x - 1} \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \leqslant 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x^2} - x - 8 \leqslant 0 \\
x > 1\\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 < x \leqslant \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}$$
Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm thoả $1 < x \leqslant \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}$. Dùng đồ thị của hàm số $y = {\left( {x - 1} \right)^3} - 3x$, xét trên khoảng $1 < x \leqslant \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}$. Từ đó suy ra kết quả.

Bài 8: Nhờ anh Định kiểm tra lại đề, em thấy nó kì kì ở chỗ này $\boxed{{{\log }_{27{x^2}}}x}$

#27 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-12-2011 - 16:17

Bài 13: Giải phương trình: $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$

P/s: Xin lỗi vì không biết đó là đề thi năm mấy, thấy hay nên đưa ra cho mọi người cùng giải.

#28 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 09-12-2011 - 17:46

Bài 13: Giải phương trình: $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$


Em giải thử bài này mọi người kiểm tra đúng sai giúp em nhé.

Ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ta đặt $a=\sqrt{2x+1};b=\sqrt{3-2x}$ với điều kiện $a,b \ge 0$

Ta có: $a^2+b^2=4$

Phương trình ban đầu tương đương với:

$a + b = \dfrac{{(2 - {a^2})({b^2} - 2)}}{2} \Leftrightarrow 2(a + b) = 2{b^2} + 2{a^2} - 4 - {a^2}{b^2}$

Vì $a^2+b^2=4$ nên phương trình trên tương đương:
$ \Leftrightarrow 2(a + b) = 4 - {a^2}{b^2}$ (1)

Ta có: $VP = 4 - {a^2}{b^2} \ge 4 - \dfrac{{{{({a^2} + {b^2})}^2}}}{4} = 0$
Và ta cũng có: $a,b \ge 0$.

Do đó ta bình phương 2 vế của (1). Ta được:

$(1) \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 8ab = {(4 - {a^2}{b^2})^2} \Leftrightarrow 16 + 8ab = 16 - 8{a^2}{b^2} + {a^4}{b^4}$
$\Leftrightarrow ab(ab+2)(a^2b^2-2ab-4)$


$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\ab = - 2\\{a^2}{b^2} - 2ab - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right\}$

Đoạn cuối em làm hơi tắt một tí và bài này em chỉ giải ra $x$ trên tập hợp số thực thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 09-12-2011 - 17:48

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#29 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-12-2011 - 17:53

Tốt rồi đó Huy. Còn một cách khác ngắn gọn hơn. Em thử suy nghĩ tiếp nhé.

#30 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 11-12-2011 - 23:47

Bài 13: Giải phương trình: $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$

Không biết cách này có đúng ý anh Thành không :D
ĐK: $x \in \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right]$
Ta có:
\[V{T^2} = 4 + 2\sqrt {2x + 1} \sqrt {2 - 3x} \ge 4 \Rightarrow VT \ge 2\,\,(do\,VT > 0)\]
Mặt khác:
\[VP = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} = 2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} \le 2\,\forall x \in \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right]\]
Dấu = xảy ra khi $x = \dfrac{3}{2};x = \dfrac{-1}{2}$
Vậy: $x = \dfrac{3}{2};x = \dfrac{-1}{2}$ là nghiệm phương trình. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-12-2011 - 16:22

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#31 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-12-2011 - 13:19

Hướng giải của Việt đã đúng ý rồi đó. Nhưng ở đoạn này Việt bị nhầm, không thể đánh giá như thế được

\[VP = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} = 2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} \le 4\,\forall x \in \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right]\]


Phải là: Do $$x \in \left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}} \right] \Rightarrow - 2 \leqslant 2x - 1 \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2x - 1} \right)^2} \leqslant 4 \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} \leqslant 2$$

Từ đó suy ra: $$\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = 2 \\
{\left( {2x - 1} \right)^2} = 4\\
\end{gathered} \right.$$

#32 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 12-12-2011 - 16:29

Hướng giải của Việt đã đúng ý rồi đó. Nhưng ở đoạn này Việt bị nhầm, không thể đánh giá như thế được



Phải là: Do $$x \in \left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}} \right] \Rightarrow - 2 \leqslant 2x - 1 \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2x - 1} \right)^2} \leqslant 4 \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} \leqslant 2$$

Từ đó suy ra: $$\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = 2 \\
{\left( {2x - 1} \right)^2} = 4\\
\end{gathered} \right.$$

Hihi:D. Em gõ nhầm. :D . Cái đánh giá của em đúng rồi anh nhỉ :D.
Đưa thêm một hệ phương trình năm 2010 cho mọi người suy nghĩ nhé.
Câu V (Khối A-2010) ( Câu tương đương câu BĐT )
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7
\end{array} \right.\]

----------------------------------
Mọi người giải xong có thể suy nghĩ câu tiếp theo.
Bài T7/412 trong THTT số 412
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {17 - 3x} \right)\sqrt {5 - x} + \left( {3y - 14} \right)\sqrt {4 - y} = 0\\
2\sqrt {2x + y + 5} + 3\sqrt {3x + 2y + 11} = {x^2} + 6x + 13
\end{array} \right.\]

P/s: Sau khi xử lý xong 2 câu trên hay đưa ra những suy nghĩ của mình về 2 hệ này nhé. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 07-02-2012 - 20:55
Gõ nhầm!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#33 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-12-2011 - 17:48

Câu V (Khối A-2010) ( Câu tương đương câu BĐT )
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7
\end{array} \right.\]

----------------------------------


7 cách giải cho bài toán trên. Mọi người cho nhận xét nhé.

Do điều kiện như nhau nên áp dụng cho 7 cách: $$x \leqslant \dfrac{3}{4},y \leqslant \dfrac{5}{2}$$

Cách 1:

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)2x = \left( {5 - 2y + 1} \right)\sqrt {5 - 2y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \left( {{t^2} + 1} \right)t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0 \Rightarrow f$ tăng trên $\mathbb{R}$.

Khi đó: $$(1) \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) = f\left( {\sqrt {5 - 2y} } \right) \Leftrightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y = \dfrac{{5 - 4{x^2}}}{2}
\end{array} \right.$$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$$4{x^2} + {\left( {\dfrac{5}{2} - 2{x^2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x} - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Thấy $x = 0,x = \dfrac{3}{4}$ không là nghiệm của $(2)$.
Xét hàm số: $$g\left( x \right) = 4{x^2} + {\left( {\dfrac{5}{2} - 2{x^2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x} - 7,\,\,x \in \left( {0,\dfrac{3}{4}} \right]$$
Ta có: $g'\left( x \right) = 8x - 8x\left( {\dfrac{5}{2} - 2{x^2}} \right) - \dfrac{4}{{\sqrt {3 - 4x} }} = 4x\left( {4{x^2} - 3} \right) - \dfrac{4}{{\sqrt {3 - 4x} }} < 0 \Rightarrow g$ giảm.

Lại có: $g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0$ do đó phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2$

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 2:

Phương trình thứ nhất của hệ được viết thành:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \geqslant 0,\forall y \leqslant \dfrac{5}{2} \Rightarrow x \geqslant 0$$
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
u = 2x;0 \le u \le \dfrac{3}{2}\\
v = \sqrt {5 - 2y} \ge 0 \Rightarrow y = \dfrac{{5 - {v^2}}}{2}
\end{array} \right.$$
Tha vào phương trình thứ nhất ta có: $$\left( {{u^2} + 1} \right)\dfrac{u}{2} + \left( {\dfrac{{5 - {v^2}}}{2} - 3} \right)v = 0 \Leftrightarrow {u^3} + u - {v^3} - v = 0 \Leftrightarrow {u^3} + u = {v^3} + v\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = {t^3} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0 \Rightarrow f$ tăng trên $\mathbb{R}$.
Từ $$(1) \Rightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v$$
Thay vào phương trình thứ hai: $${u^2} + {\left( {\dfrac{{5 - u}}{2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 7 \Leftrightarrow 8\sqrt {3 - 2u} = - {u^4} + 6{u^2} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Xét hàm số: $g\left( u \right) = - {u^4} + 6{u^2} + 3\,;0 \le u \le \dfrac{3}{2}$. Lập bảng biến thiên từ đó suy ra $u=1$ là nghiệm của $(2)$ và đó là nghiệm duy nhất do:
* $h\left( u \right) = 8\sqrt {3 - 2u} $ giảm trên $0 \le u \le \dfrac{3}{2}$

* $g\left( u \right) = - {u^4} + 6{u^2} + 3$ tăng trên $0 \le u \le \dfrac{3}{2}$.

Từ đó suy ra hệ có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 3:

Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
VT = 4{x^3} + x \le \dfrac{{39}}{{16}} \Rightarrow VP = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \le \dfrac{{39}}{{16}} \Rightarrow y \ge 0\\
VP \ge 0 \Rightarrow x \ge 0
\end{array} \right.$$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le \dfrac{3}{4}\\
0 \le y \le \dfrac{5}{2}
\end{array} \right.$$
Xét hàm số: $$f\left( x \right) = \left( {4{x^2} + 1} \right)x \nearrow \left[ {0,\dfrac{3}{4}} \right],f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 1,g\left( y \right) = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \searrow \left[ {0,\dfrac{5}{2}} \right],g\left( 2 \right) = 1$$
$$h\left( x \right) = 4{x^2} + 2\sqrt {3 - 4x} \searrow \left[ {0,\dfrac{3}{4}} \right],q\left( y \right) = {y^2} \nearrow \left[ {0,\dfrac{5}{2}} \right]$$
Với $$0 \le x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow g\left( y \right) = f\left( x \right) < f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = g\left( 2 \right) \Rightarrow y > 2$$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3\\
q\left( y \right) > q\left( 2 \right) = 4
\end{array} \right. \Rightarrow V{T_{\left( {PT2} \right)}} > V{P_{\left( {PT2} \right)}}$$
Với $$\dfrac{1}{2} < x \le \dfrac{3}{4} \Rightarrow g\left( y \right) = f\left( x \right) > f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = g\left( 2 \right) \Rightarrow y < 2$$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
h\left( x \right) < h\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3\\
q\left( y \right) < q\left( 2 \right) = 4
\end{array} \right. \Rightarrow V{T_{\left( {PT2} \right)}} < V{P_{\left( {PT2} \right)}}$$
Với $$x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 4:

Phương trình thứ nhất của hệ được viết thành:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)2x = \left( {5 - 2y + 1} \right)\sqrt {5 - 2y} \Leftrightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y} $$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y = \dfrac{{5 - 4{x^2}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{y^2} = \dfrac{{16{x^4} - 40{x^2} + 25}}{4}
\end{array} \right.$$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
$$16{x^4} - 24{x^2} + 8\sqrt {3 - 4x} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {16{x^4} - 1} \right) - \left( {24{x^2} - 6} \right) + \left( {8\sqrt {3 - 4x} - 8} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left[ {\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 5} \right) - \dfrac{{16}}{{\sqrt {3 - 4x} + 1}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)S = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$$
$$0 \le x \le \dfrac{3}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 > 0\\
4{x^2} - 5 < 0
\end{array} \right. \Rightarrow S < 0$$
Từ đó suy ra hệ có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 5:

Xét phương trình thứ nhất: $$\left( {4x + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0$$
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
u = 2x,u \le \dfrac{3}{2}\\
v = \sqrt {5 - 2y} \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow {v^2} = 5 - 2y \Rightarrow y = \dfrac{{5 - {v^2}}}{2} \Rightarrow y - 3 = - \dfrac{{{v^2} + 1}}{2}$$
$$PT(1) \Leftrightarrow \left( {{u^2} + 1} \right)\dfrac{u}{2} - \left( {\dfrac{{{v^2} + 1}}{2}} \right)v = 0 \Leftrightarrow {u^3} + u - {v^3} - v = 0 \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {{u^2} + uv + {v^2} + 1} \right) = 0$$
Vì $${u^2} + uv + {v^2} + 1 = {\left( {u + \dfrac{v}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{v^2}}}{4} + 1 > 0 \Rightarrow u = v \Rightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y} $$
Trở về cách 1cách 2.

Cách 6:

Tương tự các cách trên, từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra: $2x = \sqrt {5 - 2y} $

Thay $u=2x$ vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
$${u^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 7 \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 3$$
Đặt $$v = y - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {3 - 2v} \\
{v^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 3
\end{array} \right.$$
Đặt $$w = \sqrt {3 - 2u} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{w^2} + 2u = 3\\
{u^2} + 2v = 3\\
{v^2} + 2w = 3
\end{array} \right.$$
Từ hệ trên dễ dàng chứng minh được $u = v = w = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2},y = 2$

Cách 7:

Đặt $u = \sqrt {5 - 2y} ,v = \sqrt {3 - 4x} ;u,v \ge 0$, khi đó ta có hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{array}{l}
4{x^3} + x + \left( {\dfrac{{5 - {u^2}}}{2} - 3} \right) = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2v = 7\\
x = \dfrac{{3 - {v^2}}}{4}\\
y = \dfrac{{5 - {u^2}}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow 8{x^3} + 2x - {u^3} - u = \left( {2x - u} \right)\left( {3{x^2} + {{\left( {x + u} \right)}^2}} \right) = 0$$
Suy ra: $$u = 2x \Rightarrow y = \dfrac{{5 - 4{{\left( {\dfrac{{3 - {v^2}}}{4}} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow 4{\left( {\dfrac{{3 - {v^2}}}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{5 - 4{{\left( {\dfrac{{3 - {v^2}}}{4}} \right)}^2}}}{2}} \right)^2} + 2v = 7$$
$$ \Leftrightarrow {v^8} - 12{v^6} + 30{v^4} + 36{v^2} + 128v - 183 = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {v - 1} \right)\left( {{v^7} + {v^6} - 11{v^5} - 11{v^4} + 19{v^3} + 19{v^2} + 55v + 183} \right) = 0$$
$$v \in \left[ {0,\sqrt 3 } \right] \Rightarrow {v^7} + {v^6} - 11{v^5} - 11{v^4} + 19{v^3} + 19{v^2} + 55v + 183 = 0\,\,\,\,vn$$
$$ \Rightarrow v = 1 \Rightarrow \sqrt {3 - 4x} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2$$
Từ đó suy ra hệ có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.
_________________________________________________________________________
P/s: Bài thứ hai thì cũng có dạng tương tự. Dành cho các bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 12-12-2011 - 18:46


#34 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 12-12-2011 - 19:11

Bài đó có phải năm anh Thành thi không nhỉ.
Bài này em ngồi nghĩ trên lớp phải mất 30p. :(
Có ý tưởng gì hay anh em post lên đi! :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#35 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-12-2011 - 19:23

Bài đó có phải năm anh Thành thi không nhỉ.
Bài này em ngồi nghĩ trên lớp phải mất 30p. :(
Có ý tưởng gì hay anh em post lên đi! :D

Không em à. Anh thi năm 2011 mà :D

#36 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 14-12-2011 - 18:52

Bài 15: [ĐH Quốc Gia TPHCM 1997]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
log_{1+x}\left ( 1-2y+y^{2} \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x+x^{2} \right )=4\; \; \; \left ( 1 \right ) & \\
log_{1+x}\left ( 1+2y \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x \right )=2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( 2 \right )&
\end{matrix}\right.$$


#37 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 15-12-2011 - 23:37

Bài 15: [ĐH Quốc Gia TPHCM 1997]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
log_{1+x}\left ( 1-2y+y^{2} \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x+x^{2} \right )=4\; \; \; \left ( 1 \right ) & \\
log_{1+x}\left ( 1+2y \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x \right )=2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( 2 \right )&
\end{matrix}\right.$$


ĐK: $x > \dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{2} < y < 1$ và $x,y \ne 0$

\[\begin{array}{l}
PT(1) \Leftrightarrow {\log _{1 + x}}{\left( {y - 1} \right)^2} + {\log _{1 - y}}{\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\
\Leftrightarrow 2{\log _{1 + x}}\left( {1 - y} \right) + 2{\log _{1 - y}}\left( {1 + x} \right) = 4\\
\Leftrightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + x} \right) = 2\\
\Leftrightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - y} \right) = 1 \Leftrightarrow + x = - y
\end{array}\]
Thay vào $PT(2)$ ta được:\[\begin{array}{l}
{\log _{1 - y}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\\
\Leftrightarrow \left( {1 + 2y} \right)\left( {1 - 2y} \right) = {\left( {1 - y} \right)^2}
\end{array}\]
Tìm $y,x$ nhớ đối chiếu ĐK.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 15-12-2011 - 23:38

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#38 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 16-12-2011 - 11:07

Câu 2: (ĐH khối B năm 2003)

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3y = \dfrac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\\
3x = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}
\end{array} \right.\]

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#39 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-12-2011 - 11:43

Câu 2: (ĐH khối B năm 2003)

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3y = \dfrac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\\
3x = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}
\end{array} \right.\]


Hướng: Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai làm xuất hiện nhân tử chung $x-y$.

Nghiệm: $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)}$

#40 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-12-2011 - 11:55

Bài 17: [DB 2007]
Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{e^x} = 2007 - \dfrac{y}{{\sqrt {{y^2} - 1} }}\\
{e^y} = 2007 - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}
\end{array} \right.$ có đúng 2 nghiệm thoả mãn điều kiện $x > 0,y > 0$.






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh