Chủ đề này có 102 trả lời

[thaomta]

Có thể giải bằng cách xét hàm $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$.
Dễ thấy $f(t)$ đồng biến với mọi $t$ thuộc tập xác định. Như vậy phương trình đầu của hệ chỉ xảy ra khi $x =y$.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ suy ra nghiệm $(x,y)$ như em huynhmylinh đã giải

-------------
bạn giải theo hướng này sẽ gặp sai lầm nghiêm trọng. vì: hàm $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$ chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó mà không liên tục trên R nên không thể suy ra ngay được $f(x)= f(y)\Leftrightarrow x = y$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 26. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{array}{1}2x - y - xy^2 = 2xy(1 - x) \,\,\,\,\,\, (1) \\(x^2 + 2y^2)(1 + \dfrac{1}{xy})^2 = 9 \,\,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$$

Giải

ĐK: $x, y \neq 0$
Ta có:
$(1) \Leftrightarrow 2x + 2x^2y = 2xy + y + xy^2 \Leftrightarrow 2x(1 + xy) = y(2x + 1 + xy)$

Do $xy \neq 0$, chia hai vế phương trình cho xy, ta có:
$2.\dfrac{xy + 1}{y} = \dfrac{2x + 1 + xy}{x}$

$\Leftrightarrow 2(x + \dfrac{1}{y}) = 2 + (\dfrac{1}{x} + y)$

Mặt khác:
$(2) \Leftrightarrow [x.(1 + \dfrac{1}{xy})]^2 + 2[y.(1 + \dfrac{1}{xy})]^2 = 9$

$\Leftrightarrow (x + \dfrac{1}{y})^2 + 2(y + \dfrac{1}{x})^2 = 9$

Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = A\\y + \dfrac{1}{x} = B\end{array}\right.$

Hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}2A = 2 + B\\A^2 + 2B^2 = 9\end{array}\right.$

Hệ phương trình này dễ dàng giải được. Từ đó, ta suy ra nghiệm cần tìm.

[Tham Lang]

Hihi:D. Em gõ nhầm. . Cái đánh giá của em đúng rồi anh nhỉ .
Đưa thêm một hệ phương trình năm 2010 cho mọi người suy nghĩ nhé.
Câu V (Khối A-2010) ( Câu tương đương câu BĐT )
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7
\end{array} \right.\]

----------------------------------
Mọi người giải xong có thể suy nghĩ câu tiếp theo.
Bài T7/412 trong THTT số 412
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {17 - 3x} \right)\sqrt {5 - x} + \left( {3y - 14} \right)\sqrt {4 - y} = 0\\
2\sqrt {2x + y + 5} + 3\sqrt {3x + 2y + 11} = {x^2} + 6x + 13
\end{array} \right.\]

P/s: Sau khi xử lý xong 2 câu trên hay đưa ra những suy nghĩ của mình về 2 hệ này nhé.

Giải nốt bài này
Ta có $$PT1 \Leftrightarrow (17 - 3x)\sqrt{5 - x} = (14 - 3y)\sqrt{4 - y} \Leftrightarrow (2 + a^2)a = (2 + b^2)b (a, b \ge 0)$$
Từ đó suy ra $a = b \Leftrightarrow y = x - 1$
Tiếp tục thay vào phương trình (2), suy ra
$$2\sqrt{3x + 4} + 3\sqrt{5x + 9} = x^2 + 6x + 13 \Leftrightarrow 2(\sqrt{3x + 4} - 2) + 3(\sqrt{5x + 9} - 3) = x^2 + 6x$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{6x}{\sqrt{3x + 4} + 2} + \dfrac{15x}{\sqrt{5x + 9} + 3} = x(x + 6) $$
TH1. $x = 0$
TH2. Dễ dàng chứng mình $\dfrac{6}{\sqrt{3x + 4} + 2} + \dfrac{15}{\sqrt{5x + 9} + 3} > 1; x + 6 \le 1$
nên phương trình $\dfrac{6}{\sqrt{3x + 4} + 2} + \dfrac{15}{\sqrt{5x + 9} + 3} = x + 6$ vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 14-02-2012 - 00:01

[Crystal]

Nhằm giúp các bạn 12 ôn thi chuẩn bị cho kì thi Tốt nghiệp và Đại học sắp tới. Mình kêu gọi mọi người tham gia topic này.

Bài 27: Giải phương trình: $1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {x^2}$.

[Ispectorgadget]

Bài 28: \[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 - xy + y^2 = 3(x - y) \\
x^2 + xy + y^2 = 7(x - y)^3 \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]

Dự bị khối D - 2006

[Crystal]

Bài 28: \[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 - xy + y^2 = 3(x - y) \\
x^2 + xy + y^2 = 7(x - y)^3 \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]

Dự bị khối D - 2006

Em đánh nhầm rồi. Phải là \[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 - xy + y^2 = 3(x - y) \\
x^2 + xy + y^2 = 7(x - y)^2 \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]

Hướng dẫn:
Biến đổi pt dưới ta có: $(x-2y)(2x-y)=0$

Cách khác:
$x^{2}+xy +y^{2}=7(x-y)^{2} <=> [...] <=> xy=2(x-y)^2$ (*)
Thế (*) vào pt còn lại (đến đây thì đơn giản rồi)
KL: Hệ pt có 3 nghiệm $(x,y)= {(0,0),(2,1),(-1,-2)}$

[Ispectorgadget]

Bài 29:Giải hệ phương trình sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} - \sqrt y = 8 - x^3 \\
(x - 1)^4 = y \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]
Dự bị khối B - 2008

[Cao Xuân Huy]

Bài 29:Giải hệ phương trình sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} - \sqrt y = 8 - x^3 \\
(x - 1)^4 = y \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]
Dự bị khối B - 2008

ĐKXĐ: $x\ge 1; y\ge 0$

Thay từ pt (2) vào pt (1):

\[\sqrt {x - 1} - {(x - 1)^2} + {x^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) - \left[ {{{(x - 1)}^2} - 1} \right] + {x^3} - 8 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 1} + 1}} - x(x - 2) + (x - 2)({x^2} + 2x + 4) = 0\]
\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left[ {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}} + {x^2} + x + 4} \right] = 0\]

Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương nên $x=2$.

Do đó $y=1$.

[Ispectorgadget]

Bài 29:Giải hệ phương trình sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} - \sqrt y = 8 - x^3 \\
(x - 1)^4 = y \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]
Dự bị khối B - 2008

Điều kiện
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} - (x - 1)^2 + x^3 - 8 = 0 \\
y = (x - 1)^4 \\
\end{array} \right.
\]
Xét hàm số \[
f(t) = \sqrt {t - 1} - (t - 1)^2 + t^3 - 8(t \ge 1)
\]

Ta có: \[
f'(t) = (t - 1)^2 + 2t^2 + 1 + \frac{1}{{2\sqrt {t - 1} }} > 0\forall t > 1
\]

Nên $f(t)$ đồng biến trên $(1; + \infty )$
Thấy $f(2)$ đúng do đó x=2 thay 2 vào phương trình dưới tìm được y =1

[Ispectorgadget]

Bài 30: Giải hệ phương trình sau

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt {y - 2} = 3}\\
{\sqrt {y + 1} + \sqrt {x - 2} = 3}
\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ở đâu đó không nhớ nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 18-03-2012 - 18:43
sửa giúp em $\LaTeX$

[Crystal]

Bài 30: Giải hệ phương trình sau

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt {y - 2} = 3}\\
{\sqrt {y + 1} + \sqrt {x - 2} = 3}
\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ở đâu đó không nhớ nữa

Trừ vế theo vế của hệ, ta thu được: $$\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 2} = \sqrt {y + 1} - \sqrt {y - 2} $$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \sqrt {t + 1} - \sqrt {t - 2} ,t \ge 2$
Các bước còn lại thì đơn giản rồi.

Trên đây chỉ là một cách, các bạn cho những cách khác nhé.

[hoangtrong2305]

Bài 30: Giải hệ phương trình sau

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt {y - 2} = 3}\\
{\sqrt {y + 1} + \sqrt {x - 2} = 3}
\end{array}} \right.\]

E trình bày theo cách cấp $2$


$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=3(*)\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{x-2}=3 \end{matrix}\right.$


ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x\geq 2\\ y\geq 2 \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=3\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{x-2}=3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1+2\sqrt{(x+1)(y-2)}+y-2=9\\ y+1+2\sqrt{(y+1)(x-2)}+x-2=9 \end{matrix}\right.$

Trừ $2$ phương trình, ta được phương trình sau:

$\sqrt{(x+1)(y-2)}-\sqrt{(y+1)(x-2)}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)(y-2)}=\sqrt{(y+1)(x-2)}$

$\Leftrightarrow (x+1)(y-2)=(y+1)(x-2)$

$\Leftrightarrow xy-2x+y-2=xy-2x+x-2$

$\Leftrightarrow y=x$

Thay vào $(*)$, ta được phương trình:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3$

$\Leftrightarrow x+1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2=9$

$\Leftrightarrow x+\sqrt{(x+1)(x-2)}=5$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-2)=(5-x)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-2=25-10x+x^{2}$

$\Leftrightarrow 9x=27$

$\Leftrightarrow x=y=3$ (nhận)

Vậy hệ phương trình nhận $1$ cặp nghiệm $(x;y)$

$$\boxed{(3;3)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-03-2012 - 10:36

[hwinclvt]

Bài 31: $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac {2xy}{x^2+y^2}=1 & \\\\\sqrt{x+y}=x^2-y & \end{matrix}\right.$

MOD: Vui lòng đánh số thứ tự vào còn vi phạm sẽ xóa không báo trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-03-2012 - 23:38

[Crystal]

Bài 31: $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac {2xy}{x^2+y^2}=1 & \\\\\sqrt{x+y}=x^2-y & \end{matrix}\right.$

Bài tương tự.

giai hpt:
$\left\{\begin{matrix} & x^2+y^2+\dfrac{8xy}{x+y}=16 & \\ & \sqrt{x+y}= x^2-y& \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $x + y > 0$.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + 8xy = 16\left( {x + y} \right)$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - 16\left( {x + y} \right) - 2xy\left( {x + y} \right) + 8xy = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 16} \right] - 2xy\left( {x + y - 4} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 4} \right)\left( {x + y + 4} \right) - 2xy\left( {x + y - 4} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x + y - 4} \right)\left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 4} \right) - 2xy} \right] = 0$$
Do $$x + y > 0 \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 4} \right) - 2xy = {x^2} + {y^2} + 4\left( {x + y} \right) > 0$$
Suy ra: $x + y - 4 = 0$. Từ đó kết hợp với phương trình thứ hai của hệ ta tìm được nghiệm.

[phuongnamz10A2]

bài 32: Giải phương trình
$\sqrt{2x^3+4x^2+4x}-\sqrt[3]{16x^3+12x^2+6x-3}=4x^4+2x^3-2x-1$
mod: đề nghị bạn đánh số bài đầy đủ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 18-04-2012 - 16:13

[dark templar]

Bài 33: Tìm $a$ để với mọi $b$ hệ sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} (a-1)x^5+y^5=1 & \\ e^{bx}+(a+1)by^4=a^2 \end{matrix}\right.$$

Đề thi thử ĐH của ĐHKHTN Hà Nội năm 2009.
P/s:Mong các bạn tham gia topic đánh số thứ tự bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 18-04-2012 - 16:13

[Khanh Ng]

Nhằm giúp các bạn 12 ôn thi chuẩn bị cho kì thi Tốt nghiệp và Đại học sắp tới. Mình kêu gọi mọi người tham gia topic này.

Bài 27: Giải phương trình: $1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {x^2}$.

Ai hướng dẫn cho mình bài này với :)
--------
Nghiệm x = 1 thì nhẩm đc, Shift Solve thì ra 1 nghiệm nữa, gần 1 luôn. Hè

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khanh Ng: 18-05-2012 - 22:34

[Ispectorgadget]

Bài 34: Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + {y^2} - {z^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2} - {x^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2} - {y^2}} = x + y + z\\
xyz - {x^2} - {y^2} - \frac{1}{3}(\sqrt {xy} + \sqrt {xz} + \sqrt {yz} ) + 2 = 0
\end{array} \right.$
Với $x,y,z\in R$
Dự bị khối B-2010

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-06-2012 - 21:16

[MIM]

Bài 34: Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + {y^2} - {z^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2} - {x^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2} - {y^2}} = x + y + z\\
xyz - {x^2} - {y^2} - \frac{1}{3}(\sqrt {xy} + \sqrt {xz} + \sqrt {yz} ) + 2 = 0
\end{array} \right.$
Với $x,y,z\in R$
Dự bị khối B-2010

Làm thế này không biết đúng sai nữa

Ta có ĐKXĐ của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2\geq z^2 (1) \\y^2+z^2\geq x^2(2)
\\z^2+x^2\geq y^2(3)\\ x,y,z>0(4)
\end{array} \right.$

Lấy $(1)-(2)$ ta có: $x^2-z^2\geq z^2-x^2\Rightarrow x^2\geq z^2$
Lấy $(2)-(3)$ ta có: $y^2-x^2\geq x^2-y^2\Rightarrow y^2\geq x^2$
Lấy $(3)-(1)$ ta có: $z^2-y^2\geq y^2-z^2\Rightarrow z^2\geq y^2$

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2\geq z^2 \\ y^2\geq x^2
\\z^2\geq y^2
\end{array} \right.\Rightarrow x^2=y^2=z^2\Rightarrow x=y=z$ (vì $x,y,z>0$)

Tới đây thế vào giải ra.. xin lỗi vì em mình mượn máy tính đi thi chưa trả nên không làm hết được

[Ispectorgadget]

Bài 35: Giải hệ trên tập số thực
$\left\{ \begin{array}{l}
2 - \sqrt {{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1} = 2(3 - \sqrt 2 - x){y^2}\\
\sqrt {x - {y^2}} + x = 3
\end{array} \right.$
Dự bị khối D - 2010