Chủ đề này có 1 trả lời

[cobengocnghech]

Xác định a để hàm số sau liên tuc trên toàn trục số: $f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1, x\leq 1 \\ 3-ax^{2},x> 1 \end{matrix}\right.$ . Khi đó, hàm số trên có khả vi tại x=1 hay không ? Tại sao ?

[Crystal]

Xác định a để hàm số sau liên tuc trên toàn trục số: $f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1, x\leq 1 \\ 3-ax^{2},x> 1 \end{matrix}\right.$ . Khi đó, hàm số trên có khả vi tại x=1 hay không ? Tại sao ?

Ta có: $$f\left( {1 - 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - 0} \left( {x + 1} \right) = 2;\,\,\,f\left( {1 + 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + 0} \left( {3 - a{x^2}} \right) = 3 - a$$

Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow f\left( {1 - 0} \right) = f\left( {1 + 0} \right) \Leftrightarrow 2 = 3 - a \Leftrightarrow \boxed{a = 1}$

Khi đó cho $x$ một số gia $\Delta x$. Tại x=1:
$$f'\left( {1 - 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to - 0} \dfrac{{f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to - 0} \dfrac{{1 + \Delta x + 1 - 2}}{{\Delta x}} = 1$$
$$f'\left( {1 + 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to + 0} \dfrac{{f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to + 0} \dfrac{{3 - {{\left( {1 + \Delta x} \right)}^2} - 2}}{{\Delta x}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to + 0} \dfrac{{ - 2\Delta x - {{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}} = - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to + 0} \left( {2 + \Delta x} \right) = -2$$
Do $f'\left( {1 - 0} \right) \ne f'\left( {1 + 0} \right)$ nên hàm số không khả vi tại $x=1$.

---------------
Có thể tính $f'\left( {1 - 0} \right)$ và $f'\left( {1 + 0} \right)$ trực tiếp bằng cách lấy đạo hàm.